Exemplo 1.20. Calcule \int_{0}^{1}(x-1)^{10} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1}(x-1)^{10}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências, e vamos usar a regra de potência (ou uma substituição simples) para encontrar a antiderivada de (x-1)^{10}.

Passo 2

Fazendo a substituição u=x-1, temos du=dx e a integral vira
\int u^{10}\,du,
cuja antiderivada é
\frac{u^{11}}{11} + C.
Voltando à variável original,
\int (x-1)^{10}\,dx = \frac{(x-1)^{11}}{11} + C.

Passo 3

Agora avaliamos nos limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(x-1)^{10}\,dx = \left[\frac{(x-1)^{11}}{11}\right]_{0}^{1} = \frac{(1-1)^{11} - (0-1)^{11}}{11} = \frac{0 - (-1)}{11} = \frac{1}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{11}

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