Calcule as seguintes integrais:
\int_{\pi}^{2 \pi} \sin ^{5} x \cdot \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi}^{2\pi} \sin^5 x \cdot \cos x \, dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, escolhendo a parte de dentro de uma função composta como nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \, dx.
Assim, o produto \sin^5 x\cdot\cos x\,dx se transforma em u^5\,du.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração:
quando x=\pi, temos u=\sin\pi=0;
quando x=2\pi, temos u=\sin(2\pi)=0.
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\int_{\pi}^{2\pi} \sin^5 x \cos x \, dx = \int_{0}^{0} u^5 \, du.

Passo 4

A integral de u^5 é
\int u^5\,du = \frac{u^6}{6}
e, avaliando de 0 a 0, obtemos
\left.\frac{u^6}{6}\right|_{0}^{0} = \frac{0^6}{6} - \frac{0^6}{6} = 0.

Resposta

0

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