Exemplo 5.1b
Uma placa de alumínio \left[k=160 \mathrm{~W} /\left(m^{\circ} \mathrm{C}\right), \rho=2790 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right., c_{p}=880 \mathrm{~J} /\left(\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right) ] com 10 cm de largura por 10 cm de altura e 3 cm de espessura, que está inicialmente a uma temperatura uniforme T_{i}=225^{\circ} \mathrm{C} é repentinamente imersa, por 3 minutos, em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante \boldsymbol{T}_{\infty}=\mathbf{2 5}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W /\left(m^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determine a temperatura no centro da placa no final do processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura no centro da placa após 3 minutos:
  • Propriedades do alumínio:
    • k=160\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}
    • \rho=2790\\ \mathrm{kg/m^3}
    • c_p=880\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}
  • Geometria da placa:
    • largura =0{,}10\\ \mathrm{m}
    • altura =0{,}10\\ \mathrm{m}
    • espessura =0{,}03\\ \mathrm{m}
  • Condições iniciais e de contorno:
    • temperatura inicial \,T_i=225^\circ\mathrm{C}
    • fluido em que a placa é imersa: T_\infty=25^\circ\mathrm{C}
    • coeficiente convectivo h=320\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}
    • tempo de imersão t=3\\ \text{min}=180\\ \mathrm{s}
Pergunta: determinar a temperatura no centro da placa ao tempo t=180\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro precisamos decidir qual método de solução usar. Calculamos o número de Biot para avaliar se a temperatura no sólido pode ser considerada praticamente uniforme (método de capacidade concentrada, “lumped capacitance”):
  • comprimento característico (metade da espessura): L_c=\frac{\text{espessura}}{2}=\frac{0{,}03}{2}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • definição do número de Biot: \mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Bi}=\frac{320\cdot 0{,}015}{160}=\frac{4{,}8}{160}=0{,}03.
Interpretação: como \mathrm{Bi}=0{,}03<0{,}1, o gradiente de temperatura dentro do sólido é pequeno e o método de capacidade concentrada (lumped) é apropriado. Isso significa que a temperatura no centro coincide com a temperatura média do corpo ao longo do tempo.

Passo 3

Apresento a fórmula do método de capacidade concentrada (explicando cada termo). A solução para temperatura do corpo ao longo do tempo é:
T(t)-T_\infty=(T_i-T_\infty)\,e^{-\dfrac{h A}{\rho V c_p}\,t},
onde
  • T(t) é a temperatura do sólido no tempo t,
  • T_\infty é a temperatura do fluido (borda),
  • T_i é a temperatura inicial do sólido,
  • h é o coeficiente de convecção,
  • A é a área total de superfície exposta à convecção,
  • \rho é a densidade do material,
  • V é o volume do sólido,
  • c_p é a capacidade térmica específica do material.
Explicação física curta: a razão \dfrac{hA}{\rho V c_p} tem dimensão s^{-1} e representa a constante de decaimento exponencial da diferença de temperatura entre o corpo e o fluido.

Passo 4

Calcular as quantidades geométricas A e V:
  • Volume: V=\text{largura}\times\text{altura}\times\text{espessura}=0{,}10\cdot 0{,}10\cdot 0{,}03=0{,}0003\\ \mathrm{m^3}.
  • Área total de superfície exposta: a placa tem duas faces grandes e a borda ao redor. Área das faces grandes: A_{\text{faces}}=2\cdot(0{,}10\cdot 0{,}10)=2\cdot 0{,}01=0{,}02\\ \mathrm{m^2}.Perímetro das faces: P=2\cdot(0{,}10+0{,}10)=0{,}4\\ \mathrm{m}.Área da borda (perímetro vezes espessura): A_{\text{borda}}=P\cdot\text{espessura}=0{,}4\cdot 0{,}03=0{,}012\\ \mathrm{m^2}.Área total: A=A_{\text{faces}}+A_{\text{borda}}=0{,}02+0{,}012=0{,}032\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Agora calculamos os termos da exponencial:
  • massa do sólido: m=\rho V=2790\cdot 0{,}0003=0{,}837\\ \mathrm{kg}.
  • capacidade térmica total do corpo: C=m c_p=0{,}837\cdot 880=736{,}56\\ \mathrm{J/^\circ C}.
  • produto hA: hA=320\cdot 0{,}032=10{,}24\\ \mathrm{W/^\circ C}.
  • constante de decaimento: \frac{hA}{\rho V c_p}=\frac{10{,}24}{736{,}56}=0{,}013904\\ \mathrm{s^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
  • expoente no tempo t=180\\ \mathrm{s}: \frac{hA}{\rho V c_p}\,t=0{,}013904\cdot 180=2{,}5027\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Aplicando a fórmula do Passo 3:
  • diferença inicial: T_i-T_\infty=225-25=200\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • fator exponencial: e^{-2{,}5027}\approx 0{,}08186.
  • queda de temperatura após 180\\ \mathrm{s}: (T_i-T_\infty)\,e^{-2{,}5027}=200\cdot 0{,}08186=16{,}372\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura final no corpo (e portanto no centro): T(180)=T_\infty+16{,}372=25+16{,}372=41{,}372\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais ou uma, conforme preferência de prova), temos T(180)\approx 41{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

41{,}4^\circ\mathrm{C}

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