Exemplo 5.1b
Uma placa de alumínio
,
] com 10 cm de largura por 10 cm de altura e 3 cm de espessura, que está inicialmente a uma temperatura uniforme
é repentinamente imersa, por 3 minutos, em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante
. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é
. Determine a temperatura no centro da placa no final do processo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura no centro da placa após
minutos:
- Propriedades do alumínio:
-
- Geometria da placa:
- largura
- altura
- espessura
- largura
- Condições iniciais e de contorno:
- temperatura inicial
- fluido em que a placa é imersa:
- coeficiente convectivo
- tempo de imersão
- temperatura inicial
Pergunta: determinar a temperatura no centro da placa ao tempo
.
Passo 2
Primeiro precisamos decidir qual método de solução usar. Calculamos o número de Biot para avaliar se a temperatura no sólido pode ser considerada praticamente uniforme (método de capacidade concentrada, “lumped capacitance”):
- comprimento característico (metade da espessura):
- definição do número de Biot:
Substituindo os valores:
Interpretação: como
, o gradiente de temperatura dentro do sólido é pequeno e o método de capacidade concentrada (lumped) é apropriado. Isso significa que a temperatura no centro coincide com a temperatura média do corpo ao longo do tempo.
Passo 3
Apresento a fórmula do método de capacidade concentrada (explicando cada termo). A solução para temperatura do corpo ao longo do tempo é:
onde
-
é a temperatura do sólido no tempo , -
é a temperatura do fluido (borda), -
é a temperatura inicial do sólido, -
é o coeficiente de convecção, -
é a área total de superfície exposta à convecção, -
é a densidade do material, -
é o volume do sólido, -
é a capacidade térmica específica do material.
Explicação física curta: a razão
tem dimensão
e representa a constante de decaimento exponencial da diferença de temperatura entre o corpo e o fluido.
Passo 4
Calcular as quantidades geométricas
e
:
- Volume:
- Área total de superfície exposta: a placa tem duas faces grandes e a borda ao redor. Área das faces grandes:
Perímetro das faces: Área da borda (perímetro vezes espessura): Área total:
Passo 5
Agora calculamos os termos da exponencial:
- massa do sólido:
- capacidade térmica total do corpo:
- produto
: - constante de decaimento:
- expoente no tempo
:
Passo 6
Aplicando a fórmula do Passo 3:
- diferença inicial:
- fator exponencial:
- queda de temperatura após
: - temperatura final no corpo (e portanto no centro):
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais ou uma, conforme preferência de prova), temos
.