Ar aquecido é usado para climatizar um auditório no inverno. A taxa de alimentação de ar na unidade de aquecimento é de 150 \mathrm{~m}^{3} por minuto a 17^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . O ar que entra passa através da unidade de aquecimento que usa 15 kW nas resistências elétricas. Sabendo que a perda de calor da unidade de aquecimento é 200 W , qual é o valor da temperatura do ar na saída do aquecedor?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura do ar na saída do aquecedor.
Dados fornecidos:
  • Taxa de alimentação volumétrica do ar: \dot V = 150\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Temperatura de entrada do ar: T_{\text{in}} = 17^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão do ar: p = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Potência elétrica das resistências: \dot Q_{\text{res}} = 15\\ \mathrm{kW}.
  • Perda de calor da unidade: \dot Q_{\text{loss}} = 200\\ \mathrm{W}.
O que se pede: a temperatura de saída do ar T_{\text{out}} (em ^\circ\mathrm{C} ou K).

Passo 2

Primeiro vou transformar unidades e calcular a massa de ar que passa por segundo.
Converter vazão volumétrica para \mathrm{m^{3}/s}:
\dot V = 150\\ \mathrm{m^{3}/min} = \frac{150}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 2{,}5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Para obter a massa que entra por segundo uso a densidade do ar \rho. Vou tratar o ar como gás ideal; a densidade é dada por
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde:
  • p é a pressão absoluta (em Pa),
  • R é a constante específica do ar, R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Converter T_{\text{in}} para Kelvin:
T_{\text{in}} = 17^\circ\mathrm{C} = 17 + 273{,}15 = 290{,}15\\ \mathrm{K}.
Colocando os valores (e lembrando p=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}):
\rho = \frac{100000}{287\cdot 290{,}15}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 1{,}201\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Expliquei: usei a equação dos gases ideais e a constante específica do ar.)

Passo 3

Agora a vazão mássica \dot m é
\dot m = \rho\,\dot V = 1{,}201\cdot 2{,}5\\ \mathrm{kg/s} \approx 3{,}003\\ \mathrm{kg/s}.
(Interpretação: aproximadamente 3{,}00\\ \mathrm{kg} de ar passam pelo aquecedor a cada segundo.)

Passo 4

Fórmula de balanço de energia (regime estacionário, desprezando variações cinéticas e potenciais): o calor líquido fornecido ao ar aumenta sua entalpia sensível. Assim:
\dot Q_{\text{net}} = \dot Q_{\text{res}} - \dot Q_{\text{loss}} = \dot m\,c_p\,(T_{\text{out}}-T_{\text{in}}).
Onde:
  • \dot Q_{\text{net}} é a potência útil que vai para o ar (W),
  • c_p é o calor específico do ar a pressão constante (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • T_{\text{out}} e T_{\text{in}} estão em K ou ^\circ\mathrm{C} (diferença de temperatura em K = diferença em °C).
Escolha de c_p: para ar seco em condições próximas de ambiente, usa-se c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Isso é um valor padrão usado em problemas de aquecimento de ar.
Calcular \dot Q_{\text{net}}:
\dot Q_{\text{res}} = 15\\ \mathrm{kW} = 15000\\ \mathrm{W},\qquad \dot Q_{\text{loss}} = 200\\ \mathrm{W},
\dot Q_{\text{net}} = 15000 - 200 = 14800\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Isolando T_{\text{out}} da equação de energia:
T_{\text{out}} = T_{\text{in}} + \frac{\dot Q_{\text{net}}}{\dot m\,c_p}.
Substituindo os números:
\dot m\,c_p \approx 3{,}003\cdot 1005 \\ \mathrm{W/K} \approx 3018{,}0\\ \mathrm{W/K}.
\Delta T = \frac{14800}{3018{,}0}\\ \mathrm{K} \approx 4{,}903\\ \mathrm{K}.
Como diferença em K = diferença em °C, então
T_{\text{out}} = 17^\circ\mathrm{C} + 4{,}903^\circ\mathrm{C} \approx 21{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação final: com a potência das resistências de 15\\ \mathrm{kW} e uma perda de 200\\ \mathrm{W}, o ar que entra a 17^\circ\mathrm{C} sai do aquecedor a cerca de 21{,}9^\circ\mathrm{C}. É um aumento moderado devido ao elevado fluxo de ar.

Resposta

T_{\text{out}} \approx 21{,}9^\circ\mathrm{C}

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