Exemplo 5.21. Calcule \int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen} x d x.
Pela integração por partes para integrais definidas temos que
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen} x d x & =-x \cos x]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \cos x d x \\ & =(-\pi \cos \pi+0 \cos 0)-\operatorname{sen} x]_{0}^{\pi} \\ & =\pi-(\operatorname{sen} \pi-\operatorname{sen} 0) \\ & =\pi \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx
usando integração por partes em integrais definidas. Vamos precisar da fórmula
\int_{a}^{b} u\,dv = \bigl[u\,v\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du,
escolhendo funções u e dv de forma conveniente.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = \sin x \, dx
pois assim du = dx é simples e sabemos integrar \sin x. Integramos dv para obter
v = \int \sin x \, dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em \displaystyle\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx, temos
\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \bigl[x \cdot(-\cos x)\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos x)\,dx.
O primeiro termo é
\bigl[-x\cos x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\pi\cos\pi\bigr) - \bigl(0\cdot\cos 0\bigr) = -\pi\cdot(-1) - 0 = \pi.

Passo 4

O segundo termo é
- \int_{0}^{\pi} (-\cos x)\,dx = \int_{0}^{\pi} \cos x \, dx
e essa integral é imediata:
\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = \bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi.

Resposta

\pi

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