Exemplo 5.18. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3-5 x)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3-5x)^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta (3-5x)^{-2}. Vamos definir uma nova variável para simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 3 - 5x, \quad du = -5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{-5},
temos
\int (3-5x)^{-2}\,dx = \int u^{-2}\,\frac{du}{-5} = -\frac{1}{5}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{5}\bigl(-u^{-1}\bigr) = \frac{1}{5u} + C.

Passo 3

Agora aplicamos os limites de x=1 a x=2. Quando x=1, u=3-5\cdot1=-2. Quando x=2, u=3-5\cdot2=-7. Portanto
\int_{1}^{2} \frac{1}{(3-5x)^{2}}\,dx = \left[\frac{1}{5u}\right]_{u=-2}^{u=-7} = \frac{1}{5(-7)} \;-\; \frac{1}{5(-2)} = -\frac{1}{35} + \frac{1}{10} = \frac{1}{14}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{14}

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