Exemplo 21. Identifique a cônica de equação polar r=\frac{10}{2+3 \cos (\theta)} e trace seu gráfico.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r = \frac{10}{2 + 3\cos(\theta)}
e pede (a) identificar de que tipo de cônica se trata (elipse, parábola ou hipérbole), (b) encontrar seus parâmetros principais (excentricidade, diretiz) e (c) esboçar o gráfico. Vamos usar a forma padrão de uma cônica em polares com foco na origem:
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos(\theta)}
onde e é a excentricidade e d a distância da reta diretiz ao foco.

Passo 2

Para comparar com a forma padrão, dividimos numerador e denominador por 2:
r = \frac{10}{2\bigl(1 + \tfrac{3}{2}\cos\theta\bigr)} = \frac{5}{1 + \tfrac{3}{2}\cos\theta}\,.
Dessa forma vemos que
e = \tfrac{3}{2}, \quad e\,d = 5 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{5}{e} = \frac{5}{3/2} = \frac{10}{3}\,.

Passo 3

Como \,e = \tfrac{3}{2}>1, a curva é uma hipérbole. A diretiz associada à forma
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}
é a reta vertical
x = -d = -\tfrac{10}{3}\,,
e o eixo principal é o eixo x (pois o termo está em \cos\theta).

Passo 4

Para desenhar o esboço, identificamos:
  1. Asymptotas angulares: o denominador anula quando
1 + \tfrac{3}{2}\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = -\tfrac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \pm\operatorname{arccos}\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\approx \pm131{,}8^\circ.
Nesses ângulos, r\to+\infty, indicando as direções das assíntotas do ramo principal.
  1. Pontos notáveis (onde r>0):
  • \theta=0:
r = \frac{10}{2+3\cdot1} = \frac{10}{5} = 2 \quad\Longrightarrow\quad (x,y) = (2,0).
  • \theta= \pm60^\circ:
r = \frac{10}{2+3\cdot\frac12} = \frac{10}{3{,}5} \approx 2{,}857 \quad\Longrightarrow\quad \text{dois pontos simétricos acima e abaixo do eixo \(x\).}é
  • \theta= \pm90^\circ:
r = \frac{10}{2+3\cdot0} = 5 \quad\Longrightarrow\quad (x,y) \approx (0,\pm5).
  1. Ramo secundário (quando 2+3\cos\theta<0, isto é |\theta|>\operatorname{arccos}(-2/3)): aí r<0 e o ponto fica no sentido oposto; em particular, em \theta=\pi temos r=-10, que também dá o ponto (+10,0). Esse é o segundo ramo da hipérbole.
Juntando tudo temos dois ramos de hipérbole com foco na origem, simétricos em relação ao eixo x, assíntotas nas direções \theta\approx\pm131{,}8^\circ e passando pelos pontos calculados.

Passo 5

Esboço do gráfico em coordenadas cartesianas:
  • Ramo principal para \theta\in(-131{,}8^\circ,131{,}8^\circ), interceptando o eixo x em (2,0) e abrindo-se em direção às duas assíntotas.
  • Ramo secundário obtido pelos valores negativos de r, interceptando o eixo x em (10,0) e abrindo-se nas mesmas assíntotas.
 \ / 
 \ / ← assíntotas em \(\theta\approx\pm 131,8\circ\) 
 \ / 
 -----*----- foco na origem 
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Resposta

A curva é uma hipérbole com
e = \tfrac{3}{2}, \quad \text{diretiz }x = -\tfrac{10}{3},
foco na origem e assíntotas nas direções \theta = \pm\operatorname{arccos}(-2/3)\approx\pm131{,}8^\circ.

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