Exemplo 21. Identifique a cônica de equação polar
e trace seu gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
e pede (a) identificar de que tipo de cônica se trata (elipse, parábola ou hipérbole), (b) encontrar seus parâmetros principais (excentricidade, diretiz) e (c) esboçar o gráfico. Vamos usar a forma padrão de uma cônica em polares com foco na origem:
onde
é a excentricidade e
a distância da reta diretiz ao foco.
Passo 2
Para comparar com a forma padrão, dividimos numerador e denominador por
:
Dessa forma vemos que
Passo 3
Como
, a curva é uma hipérbole. A diretiz associada à forma
é a reta vertical
e o eixo principal é o eixo
(pois o termo está em
).
Passo 4
Para desenhar o esboço, identificamos:
- Asymptotas angulares: o denominador anula quando
Nesses ângulos,
, indicando as direções das assíntotas do ramo principal.
- Pontos notáveis (onde
):
-
:
-
:
-
:
- Ramo secundário (quando
, isto é ): aí e o ponto fica no sentido oposto; em particular, em temos , que também dá o ponto . Esse é o segundo ramo da hipérbole.
Juntando tudo temos dois ramos de hipérbole com foco na origem, simétricos em relação ao eixo
, assíntotas nas direções
e passando pelos pontos calculados.
Passo 5
Esboço do gráfico em coordenadas cartesianas:
- Ramo principal para
, interceptando o eixo em e abrindo-se em direção às duas assíntotas. - Ramo secundário obtido pelos valores negativos de
, interceptando o eixo em e abrindo-se nas mesmas assíntotas.
\ /
\ / ← assíntotas em \(\theta\approx\pm 131,8\circ\)
\ /
-----*----- foco na origem
|\
| \
| \
Resposta
A curva é uma hipérbole com
foco na origem e assíntotas nas direções
.