Exemplo 20. Identifique a cônica de equação polar r=\frac{10}{3+2 \cos (\theta)} e trace seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r = \frac{10}{3 + 2\cos\theta}
e pede para identificar o tipo de cônica e traçar seu gráfico. Vamos usar a forma padrão das cônicas em polares
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}
onde e é a excentricidade e d a distância da diretriz ao foco na direção negativa do eixo polar.

Passo 2

Reescrevendo o denominador 3 + 2\cos\theta = 3\bigl(1 + \tfrac{2}{3}\cos\theta\bigr), temos
r = \frac{10}{3 + 2\cos\theta} = \frac{\tfrac{10}{3}}{1 + \tfrac{2}{3}\cos\theta}.
Comparando com r = \dfrac{e\,d}{1 + e\cos\theta}, identificamos
e = \frac{2}{3}, \quad e\,d = \frac{10}{3} \;\Longrightarrow\; d = \frac{\tfrac{10}{3}}{e} = \frac{\tfrac{10}{3}}{\tfrac{2}{3}} = 5.

Passo 3

Como e = \tfrac{2}{3} < 1, a cônica é uma elipse. A diretriz associada à forma 1 + e\cos\theta fica à esquerda do foco, na reta
x = -d = -5.

Passo 4

Para achar os vértices, examine \theta=0 e \theta=\pi:
  • \theta=0:
r = \frac{10}{3 + 2\cdot1} = \frac{10}{5} = 2 \;\Longrightarrow\; (x,y) = (2,0).
  • \theta=\pi:
r = \frac{10}{3 + 2\cdot(-1)} = \frac{10}{1} = 10 \;\Longrightarrow\; (x,y) = (-10,0).
O centro da elipse é o ponto médio desses vértices:
\Bigl(\frac{2+(-10)}{2},0\Bigr) = (-4,0).
O semieixo maior é
a = \frac{10 + 2}{2} = 6,
a distância do foco ao centro é
c = 4,
e o semieixo menor vem de
b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 5

A equação cartesiana da elipse, centrada em (-4,0) e com eixos paralelos ao eixo x, é
\frac{(x+4)^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1.
Seus interceptos principais são
x = 2 \text{ e } x = -10, \quad y = \pm\,2\sqrt{5}.
No gráfico, é uma elipse de eixo maior horizontal, foco em (0,0), diretriz em x=-5, e interceptos conforme acima.

Resposta

A curva é uma elipse de excentricidade e=\tfrac{2}{3}, diretriz x=-5, com centro (-4,0), semieixos a=6, b=2\sqrt{5} e equação
\frac{(x+4)^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1.

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