Exemplo 20. Identifique a cônica de equação polar
e trace seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pede para identificar o tipo de cônica e traçar seu gráfico. Vamos usar a forma padrão das cônicas em polares
onde
é a excentricidade e
a distância da diretriz ao foco na direção negativa do eixo polar.
Passo 2
Reescrevendo o denominador
, temos
Comparando com
, identificamos
Passo 3
Como
, a cônica é uma elipse. A diretriz associada à forma
fica à esquerda do foco, na reta
Passo 4
Para achar os vértices, examine
e
:
-
:
-
:
O centro da elipse é o ponto médio desses vértices:
O semieixo maior é
a distância do foco ao centro é
e o semieixo menor vem de
Passo 5
A equação cartesiana da elipse, centrada em
e com eixos paralelos ao eixo
, é
Seus interceptos principais são
No gráfico, é uma elipse de eixo maior horizontal, foco em
, diretriz em
, e interceptos conforme acima.
Resposta
A curva é uma elipse de excentricidade
, diretriz
, com centro
, semieixos
,
e equação