Exemplo 26. Mostre que a curvatura de uma reta plana é zero em qualquer ponto da reta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer ponto de uma reta no plano, a curvatura vale zero. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura \kappa de uma curva plana, e vamos precisar usar a fórmula em termos de derivadas de uma parametrização.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização simples para a reta. Seja
\gamma(t) = (x(t),y(t)) = (a\,t + b,\;c\,t + d),
com a, b, c e d constantes e (a,c)\neq(0,0). Como a reta tem equação vetorial afim, \gamma'(t) é constante e \gamma''(t)= (0,0).
A fórmula geral da curvatura, para uma curva parametrizada por t, é
\kappa(t) =\frac{\bigl|\,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl[\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}\bigr]^{3/2}}.

Passo 3

No nosso caso temos
x'(t)=a,\quad y'(t)=c, \quad x''(t)=0,\quad y''(t)=0.
Então o numerador da fórmula fica
\bigl|\,x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr| =\bigl|\,a\cdot0 - c\cdot0\bigr| =0.
Como o denominador é \bigl(a^{2}+c^{2}\bigr)^{3/2}, estritamente positivo, concluímos que
\kappa(t)=\frac{0}{\bigl(a^{2}+c^{2}\bigr)^{3/2}}=0
para todo t.

Resposta

A curvatura de uma reta plana é \displaystyle 0 em qualquer ponto da reta.

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