Exemplo 26. Mostre que a curvatura de uma reta plana é zero em qualquer ponto da reta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer ponto de uma reta no plano, a curvatura vale zero. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura \kappa de uma curva plana, e vamos precisar usar a fórmula em termos de derivadas de uma parametrização.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização simples para a reta. Seja
\gamma(t) = (x(t),y(t)) = (a\,t + b,\;c\,t + d),
com a, b, c e d constantes e (a,c)\neq(0,0). Como a reta tem equação vetorial afim, \gamma'(t) é constante e \gamma''(t)= (0,0).
A fórmula geral da curvatura, para uma curva parametrizada por t, é