Exemplo 27. Mostre que a curvatura de um círculo plano de raio k é \frac{1}{k}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a curvatura \kappa de um círculo plano de raio k vale \tfrac1k. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura de uma curva parametrizada no plano. Vamos usar a parametrização de uma circunferência centrada na origem e a fórmula
\kappa(t) =\frac{\lvert x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\rvert}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio k por
x(t)=k\cos t, \quad y(t)=k\sin t,
com t variando em [0,2\pi].

Passo 3

Calculamos as derivadas primeiras:
x'(t)=-k\sin t, \quad y'(t)=k\cos t.
Logo
x'(t)^2+y'(t)^2 =k^2\sin^2t+k^2\cos^2t =k^2.

Passo 4

Calculamos as derivadas segundas:
x''(t)=-k\cos t, \quad y''(t)=-k\sin t.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da curvatura:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t) =(-k\sin t)(-k\sin t)-(k\cos t)(-k\cos t) =k^2\sin^2t+k^2\cos^2t =k^2.
Então
\kappa(t) =\frac{\lvert k^2\rvert}{\bigl(k^2\bigr)^{3/2}} =\frac{k^2}{k^3} =\frac1k.

Resposta

A curvatura de um círculo de raio k é \displaystyle \frac1k.

Exercícios relacionados