Exemplo 27. Mostre que a curvatura de um círculo plano de raio
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a curvatura
de um círculo plano de raio
vale
. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura de uma curva parametrizada no plano. Vamos usar a parametrização de uma circunferência centrada na origem e a fórmula
Passo 2
Parametrizamos o círculo de raio
por
com
variando em
.
Passo 3
Calculamos as derivadas primeiras:
Logo
Passo 4
Calculamos as derivadas segundas:
Passo 5
Aplicamos a fórmula da curvatura:
Então
Resposta
A curvatura de um círculo de raio
é
.