EXEMPLO 29.4 Lançando um elétron
Três elétrons estão separados por 1.0 mm ao longo de uma linha vertical. Os dois elétrons mais externos estão fixos em suas posições.
a. O elétron central encontra-se em um ponto de equilibrio estável ou instável?
b. Se o elétron central for deslocado horizontalmente em uma pequena distância, qual será o módulo de sua velocidade quand estiver muito afastado dos outros?
Três elétrons estão separados por 1.0 mm ao longo de uma linha vertical. Os dois elétrons mais externos estão fixos em suas posições.
a. O elétron central encontra-se em um ponto de equilibrio estável ou instável?
b. Se o elétron central for deslocado horizontalmente em uma pequena distância, qual será o módulo de sua velocidade quand estiver muito afastado dos outros?
Passo 1
O enunciado diz que temos três elétrons idênticos alinhados verticalmente, com espaçamento
entre vizinhos, e que os dois elétrons de cima e de baixo estão fixos. O elétron central está em equilíbrio no meio. Para (a) vamos analisar a estabilidade desse ponto usando a energia potencial elétrica quando ele é deslocado horizontalmente. Para (b) vamos usar conservação de energia para achar sua velocidade quando estiver muito longe dos outros.
Passo 2
Quando o elétron central sofre um deslocamento horizontal
, a distância a cada um dos elétrons fixos (em cima e embaixo) passa a ser
. A energia potencial total do central é
onde
e
.
Passo 3
Para
expandimos em série de Taylor em torno de
:
Logo
O termo em
aparece com coeficiente negativo, o que significa que
diminui ao afastar-se de
. Isso caracteriza ponto de equilíbrio instável.
Passo 4
Quando o elétron parte de
e vai para
, a energia potencial passa de
para
Pela conservação de energia, toda essa diferença vira energia cinética:
logo
Passo 5
Substituindo
,
,
,
,
temos
temos
Resposta
(a) O ponto de equilíbrio é instável.
(b)
(b)