EXEMPLO 29.4 Lançando um elétron
Três elétrons estão separados por 1.0 mm ao longo de uma linha vertical. Os dois elétrons mais externos estão fixos em suas posições.
a. O elétron central encontra-se em um ponto de equilibrio estável ou instável?
b. Se o elétron central for deslocado horizontalmente em uma pequena distância, qual será o módulo de sua velocidade quand estiver muito afastado dos outros?

Passo 1

O enunciado diz que temos três elétrons idênticos alinhados verticalmente, com espaçamento a=1,0 mm entre vizinhos, e que os dois elétrons de cima e de baixo estão fixos. O elétron central está em equilíbrio no meio. Para (a) vamos analisar a estabilidade desse ponto usando a energia potencial elétrica quando ele é deslocado horizontalmente. Para (b) vamos usar conservação de energia para achar sua velocidade quando estiver muito longe dos outros.

Passo 2

Quando o elétron central sofre um deslocamento horizontal x, a distância a cada um dos elétrons fixos (em cima e embaixo) passa a ser raiza^2 + x^2. A energia potencial total do central é
U(x) ;=; k,e^2raiza^2 + x^2;+;k,e^2raiza^2 + x^2 ;=;2,k,e^2raiza^2 + x^2
onde k=8,99times10^9 N·m^2!/,C^2 e e=1,602times10^-19 C.

Passo 3

Para xll a expandimos em série de Taylor em torno de x=0:
1raiza^2 + x^2 approx 1a - x^22,a^3
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U(x)approx 2,k,e^2l(1a-x^22a^3r) = 2k,e^2a;-;k,e^2a^3,x^2
O termo em x^2 aparece com coeficiente negativo, o que significa que U diminui ao afastar-se de x=0. Isso caracteriza ponto de equilíbrio instável.

Passo 4

Quando o elétron parte de x=0 e vai para xtoinfty, a energia potencial passa de
U(0)=2k,e^2a
para
U(infty)=0
Pela conservação de energia, toda essa diferença vira energia cinética:
12,m,v^2 = U(0)-U(infty)=2k,e^2a,
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v = raiz4,k,e^2m,a

Passo 5

Substituindo
;k=8,99times10^9,
;e=1,602times10^-19 C,
;m=9,11times10^-31 kg,
;a=1,0times10^-3 m,
temos
v = raiz4,(8,99times10^9)(1,602times10^-19)^2(9,11times10^-31)(1,0times10^-3) approx 1,0times10^3 m/s

Resposta

(a) O ponto de equilíbrio é instável.
(b) vapprox1,0times10^3 m/s

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