Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
y^prime=x-2 y-x2+y+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
y'=x-2y-x2+y+1,
que é um quociente de funções lineares em x,y. O método de “redução a homogênea” consiste em eliminar as constantes dos termos numerador e denominador por meio da translação
x = X + h, y = Y + k,
de modo a obter um quociente de formas homogêneas (sem termos independentes). Para aplicar esse método precisamos identificar a equação no formato
y'=a x + b y + ca' x + b' y + c'

Passo 2

Reescrevendo os coeficientes:
  • Numerador: a=1, b=-2, c=0.
  • Denominador: a'=-tfrac12, b'=1, c'=1.
O critério clássico para que exista translação que zere simultaneamente c e c' é
cb;=;c'b'

Passo 3

Calculamos os quocientes:
cb=0-2=0, c'b'=11=1
Como 0neq1, não existe par (h,k) que elimine simultaneamente os termos independentes. Portanto não podemos transformar essa equação em uma homogênea via translação.

Passo 4

Concluímos que o método de redução a homogênea não se aplica, pois a condição tfraccb=tfracc'b' não é satisfeita. Para resolver essa EDO seria necessário outro método (por exemplo, fator integrante ou abordagem de equação de quocientes lineares), mas ela não é redutível a homogênea.

Resposta

A equação diferencial não satisfaz a condição tfraccb=tfracc'b' e, portanto, não é redutível a uma equação homogênea por translação.

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