Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
que é um quociente de funções lineares em
. O método de “redução a homogênea” consiste em eliminar as constantes dos termos numerador e denominador por meio da translação
de modo a obter um quociente de formas homogêneas (sem termos independentes). Para aplicar esse método precisamos identificar a equação no formato
Passo 2
Reescrevendo os coeficientes:
- Numerador:
, , . - Denominador:
, , .
O critério clássico para que exista translação que zere simultaneamente
e
é
Passo 3
Calculamos os quocientes:
Como
, não existe par
que elimine simultaneamente os termos independentes. Portanto não podemos transformar essa equação em uma homogênea via translação.
Passo 4
Concluímos que o método de redução a homogênea não se aplica, pois a condição
não é satisfeita. Para resolver essa EDO seria necessário outro método (por exemplo, fator integrante ou abordagem de equação de quocientes lineares), mas ela não é redutível a homogênea.
Resposta
A equação diferencial não satisfaz a condição
e, portanto, não é redutível a uma equação homogênea por translação.