Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\sqrt[n]{n}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;x_{n}=\sqrt[n]{n}=n^{1/n}\; para n\in\mathbb{N} e pede que a gente discuta a convergência quando n\to\infty.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra geral da sequência é \;x_{n}=n^{1/n}\;.\n
    Pergunta a responder:
  • A sequência \;(x_n) converge quando n\to\infty? Em caso afirmativo, qual é o seu limite?

Passo 2

Vou transformar a expressão para ficar mais fácil de analisar. Uma técnica bem comum é aplicar o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, e o expoente \tfrac{1}{n} vira um fator multiplicativo simples.\n
Defino a sequência auxiliar \;y_{n}=\ln(x_{n}). Explico por que isso ajuda: se eu conseguir mostrar que \;y_{n}\to L\; quando n\to\infty, então, pela continuidade da função exponencial, teremos \;x_{n}=e^{y_{n}}\to e^{L}. Isso reduz o problema a calcular o limite de uma expressão mais simples.

Passo 3

Calculo explicitamente \;y_{n}:
y_{n}=\ln(x_{n})=\ln\!\big(n^{1/n}\big)=\frac{\ln n}{n}.
Agora precisamos estudar \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.\n
Vou considerar a função contínua h(x)=\dfrac{\ln x}{x} para x>0 e estudar \displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x). Pelo Teorema de L’Hôpital (aplicável ao caso \infty/\infty), calculamos:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{( \ln x )'}{(x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Como h(x)\to 0 quando x\to\infty, segue que y_{n}=h(n)\to 0 quando n\to\infty. (Justificativa: se uma função contínua tem limite 0 no infinito, então seu valor nas inteiras também tende a 0.)

Passo 4

Voltando para \;x_{n}: temos \;x_{n}=e^{y_{n}} e já vimos que \;y_{n}\to 0. Pela continuidade da exponencial,
\lim_{n\to\infty}x_{n}=\lim_{n\to\infty}e^{y_{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}y_{n}}=e^{0}=1.
Portanto a sequência converge e o limite é \;1.

Passo 5

Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova): a razão pela qual isso acontece é que \ln n cresce muito mais devagar que n. Assim \tfrac{\ln n}{n} vai para zero, e n^{1/n}=e^{(\ln n)/n} vai para e^{0}=1. Uma aproximação útil para exercícios é usar a expansão e^{t}\approx 1+t para t pequeno; aqui t=(\ln n)/n é pequeno para n grande, então n^{1/n}\approx 1+\dfrac{\ln n}{n}, que tende para 1.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1

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