Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede que a gente discuta a convergência quando
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra geral da sequência é
.\n
Pergunta a responder: - A sequência
converge quando ? Em caso afirmativo, qual é o seu limite?
Passo 2
Vou transformar a expressão para ficar mais fácil de analisar. Uma técnica bem comum é aplicar o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, e o expoente
vira um fator multiplicativo simples.\n
Defino a sequência auxiliar . Explico por que isso ajuda: se eu conseguir mostrar que
quando
, então, pela continuidade da função exponencial, teremos
. Isso reduz o problema a calcular o limite de uma expressão mais simples.
Defino a sequência auxiliar
Passo 3
Calculo explicitamente
:
Agora precisamos estudar
.\n
Vou considerar a função contínua para
e estudar
. Pelo Teorema de L’Hôpital (aplicável ao caso
), calculamos:
Vou considerar a função contínua
Como
quando
, segue que
quando
. (Justificativa: se uma função contínua tem limite
no infinito, então seu valor nas inteiras também tende a
.)
Passo 4
Voltando para
: temos
e já vimos que
. Pela continuidade da exponencial,
Portanto a sequência converge e o limite é
.
Passo 5
Comentário adicional (intuitivo e útil para a prova): a razão pela qual isso acontece é que
cresce muito mais devagar que
. Assim
vai para zero, e
vai para
. Uma aproximação útil para exercícios é usar a expansão
para
pequeno; aqui
é pequeno para
grande, então
, que tende para
.