Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente discuta a convergência da sequência
) dada por
Perguntas que precisamos responder: a sequência converge? Se convergir, para qual valor ela converge? Além disso, é útil saber se ela é monotona (cresce/decresce) e se é limitada, porque isso ajuda a concluir convergência.
Informações dadas: para cada inteiro
,
é o quociente entre o logaritmo natural de
e
próprio.
Passo 2
Vamos observar sinais e valores iniciais para ganhar intuição. Calculamos alguns termos pequenos:
Para
temos
, logo
. Então a sequência é não-negativa. Isso já mostra que, se for monotona decrescente a partir de algum índice, estará limitada inferiormente por
e portanto convergirá. Agora vamos estudar monotonicidade e o comportamento quando
.
Passo 3
Para analisar monotonicidade e comportamento para grandes
é conveniente estudar a função contínua
cuja restrição a inteiros
nos dá
. Vamos calcular a derivada
para ver onde
cresce ou decresce. Usamos a regra do quociente ou produto:
tem derivada
e
tem derivada
. Assim
Interpretando o sinal de
:
- Se
então e (função crescente). - Se
então e (função decrescente).
Como
, isso significa que
(e portanto a sequência
) é crescente até perto de
ou
e depois é decrescente para todo
. Conclusão útil: a sequência
é, a partir de
, monotona decrescente e, como vimos antes, é sempre não-negativa. Logo
é monotona decrescente e limitada inferiormente por
a partir de
. Pelo teorema da convergência monotona, isso garante que
tem limite quando
.
Passo 4
Agora precisamos encontrar o valor desse limite. Uma forma direta é estudar o limite da função contínua
quando
, e então usar que
. Vamos calcular
Essa expressão é um caso clássico do tipo
. Aplicamos a regra de L’Hôpital (que diz: se
é um indeterminado do tipo
e
são diferenciáveis, então o limite é igual a
quando este existir). Tomando
e
obtemos
e
. Assim
Portanto a função
tende a
quando
.
Passo 5
Agora explico por que isso dá o limite da sequência: se
é uma função tal que
, então a sequência
(onde
percorre inteiros) também satisfaz
. Intuitivamente, quando
grande a aproximação vale para todos os pontos suficientemente grandes, inclusive os inteiros. Então, como mostramos que
, obtemos
Juntando com o passo sobre monotonicidade e limite inferior, confirmamos de duas maneiras compatíveis: a sequência é eventualmente decrescente e limitada (logo converge) e o limite calculado é
.