Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\frac{\ln n}{n}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta a convergência da sequência \(x_{n}) dada por
x_{n}=\frac{\ln n}{n}.
Perguntas que precisamos responder: a sequência converge? Se convergir, para qual valor ela converge? Além disso, é útil saber se ela é monotona (cresce/decresce) e se é limitada, porque isso ajuda a concluir convergência.
Informações dadas: para cada inteiro n\ge1, x_{n} é o quociente entre o logaritmo natural de n e n próprio.

Passo 2

Vamos observar sinais e valores iniciais para ganhar intuição. Calculamos alguns termos pequenos:
x_{1}=\frac{\ln 1}{1}=0,\qquad x_{2}=\frac{\ln 2}{2}\approx0,3466,\qquad x_{3}=\frac{\ln 3}{3}\approx0,3662.
Para n\ge2 temos \ln n>0, logo x_{n}>0. Então a sequência é não-negativa. Isso já mostra que, se for monotona decrescente a partir de algum índice, estará limitada inferiormente por 0 e portanto convergirá. Agora vamos estudar monotonicidade e o comportamento quando n\to\infty.

Passo 3

Para analisar monotonicidade e comportamento para grandes n é conveniente estudar a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0,
cuja restrição a inteiros x=n nos dá x_n=f(n). Vamos calcular a derivada f'(x) para ver onde f cresce ou decresce. Usamos a regra do quociente ou produto: \ln x tem derivada 1/x e x tem derivada 1. Assim
f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Interpretando o sinal de f'(x):
  • Se x<e então \ln x<1 e f'(x)>0 (função crescente).
  • Se x>e então \ln x>1 e f'(x)<0 (função decrescente).
Como e\approx2{,}718, isso significa que f (e portanto a sequência x_n) é crescente até perto de n=2 ou 3 e depois é decrescente para todo n\ge3. Conclusão útil: a sequência (x_n) é, a partir de n=3, monotona decrescente e, como vimos antes, é sempre não-negativa. Logo (x_n) é monotona decrescente e limitada inferiormente por 0 a partir de n=3. Pelo teorema da convergência monotona, isso garante que (x_n) tem limite quando n\to\infty.

Passo 4

Agora precisamos encontrar o valor desse limite. Uma forma direta é estudar o limite da função contínua f(x)=\frac{\ln x}{x} quando x\to\infty, e então usar que x_n=f(n). Vamos calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}.
Essa expressão é um caso clássico do tipo \infty/\infty. Aplicamos a regra de L’Hôpital (que diz: se \lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{h(x)} é um indeterminado do tipo \tfrac{\infty}{\infty} e g,h são diferenciáveis, então o limite é igual a \lim_{x\to\infty} \frac{g'(x)}{h'(x)} quando este existir). Tomando g(x)=\ln x e h(x)=x obtemos g'(x)=1/x e h'(x)=1. Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto a função f(x) tende a 0 quando x\to\infty.

Passo 5

Agora explico por que isso dá o limite da sequência: se f(x) é uma função tal que \lim_{x\to\infty} f(x)=L, então a sequência f(n) (onde n percorre inteiros) também satisfaz \lim_{n\to\infty} f(n)=L. Intuitivamente, quando x grande a aproximação vale para todos os pontos suficientemente grandes, inclusive os inteiros. Então, como mostramos que \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0, obtemos
\lim_{n\to\infty} x_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Juntando com o passo sobre monotonicidade e limite inferior, confirmamos de duas maneiras compatíveis: a sequência é eventualmente decrescente e limitada (logo converge) e o limite calculado é 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=0

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