Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu discuta a convergência da sequência
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A sequência está definida para
(pois em o denominador seria zero). - Cada termo
é estritamente positivo (fração positiva elevada a ). - O objetivo é determinar se
converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite.
Passo 2
Estratégia: transformar a expressão em uma forma que permita usar o limite conhecido
. Para isso faço a substituição útil
. Vou explicar por que essa substituição ajuda e mostrar a transformação algébrica.\n
Com temos
. Então
Com
Passo 3
Reescrevo a fração em forma de
algo, que é a forma padrão para aplicar o limite exponencial:
Portanto
Isto separa um fator do tipo
, cujo limite clássico conheço, e um fator
simples.
Passo 4
Lema (limite clássico) e prova curta: para qualquer constante real
vale
Prova (didática): defina
. Tome logaritmo natural:
Coloque
. Então
quando
, e
. Assim
Conhecemos o limite
que pode ser visto pelo desenvolvimento em série de
ou por regra de L’Hôpital (forma
). Portanto
, logo
. Isso justifica o lema.
Passo 5
Aplicando o lema ao nosso caso com
, obtemos
Além disso
Multiplicando os limites (já que ambos existem e são finitos),
Passo 6
Conclusão e observações finais amigáveis: a sequência
converge. O valor limite não depende dos primeiros termos (que existem a partir de
); o comportamento assintótico é governado pela forma
. Uma intuição prática: potências como
tendem a
. Isso já te dá uma regra rápida para muitos exercícios parecidos na prova.