Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede que eu discuta a convergência da sequência \displaystyle x_{n}=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{n}.\n
Informações relevantes dadas:
  • A sequência está definida para n\ge 2 (pois em n=1 o denominador seria zero).
  • Cada termo x_n é estritamente positivo (fração positiva elevada a n).
  • O objetivo é determinar se \{x_n\} converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite.

Passo 2

Estratégia: transformar a expressão em uma forma que permita usar o limite conhecido \displaystyle\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{a}{m}\right)^{m}=e^{a}. Para isso faço a substituição útil m=n-1. Vou explicar por que essa substituição ajuda e mostrar a transformação algébrica.\n
Com m=n-1 temos n=m+1. Então
x_n=\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\left(\frac{(m+1)+1}{m}\right)^{m+1}=\left(\frac{m+2}{m}\right)^{m+1}.

Passo 3

Reescrevo a fração em forma de 1+ algo, que é a forma padrão para aplicar o limite exponencial:
\frac{m+2}{m}=1+\frac{2}{m}.
Portanto
x_n=\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m+1}=\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}\cdot\left(1+\frac{2}{m}\right).
Isto separa um fator do tipo \left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}, cujo limite clássico conheço, e um fator \left(1+\frac{2}{m}\right) simples.

Passo 4

Lema (limite clássico) e prova curta: para qualquer constante real a vale
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{a}{m}\right)^{m}=e^{a}.
Prova (didática): defina y_m=\left(1+\frac{a}{m}\right)^{m}. Tome logaritmo natural:
\ln y_m = m\ln\!\left(1+\frac{a}{m}\right).
Coloque t=\frac{a}{m}. Então t\to 0 quando m\to\infty, e m=\frac{a}{t}. Assim
\ln y_m = a\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Conhecemos o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1,
que pode ser visto pelo desenvolvimento em série de \ln(1+t) ou por regra de L’Hôpital (forma 0/0). Portanto \ln y_m \to a, logo y_m\to e^{a}. Isso justifica o lema.

Passo 5

Aplicando o lema ao nosso caso com a=2, obtemos
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}=e^{2}.
Além disso
\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)=1.
Multiplicando os limites (já que ambos existem e são finitos),
\lim_{m\to\infty} x_n = \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^{m}\cdot\left(1+\frac{2}{m}\right)=e^{2}\cdot 1=e^{2}.

Passo 6

Conclusão e observações finais amigáveis: a sequência \{x_n\} converge. O valor limite não depende dos primeiros termos (que existem a partir de n=2); o comportamento assintótico é governado pela forma \left(1+\frac{\text{const}}{m}\right)^m. Uma intuição prática: potências como \left(1+\frac{k}{n}\right)^n tendem a e^{k}. Isso já te dá uma regra rápida para muitos exercícios parecidos na prova.

Resposta

e^{2}

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