Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para discutir a convergência dela quando
. Ou seja, precisamos dizer se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite
Informações relevantes que já temos do enunciado:
a sequência é dada explicitamente em termos da função
aplicada ao argumento
;\n
quando
o argumento
tende a
; isso costuma ser chave para limites que envolvem
dividido por seu argumento.
Passo 2
Vamos reescrever
de forma que apareça a razão clássica
, cuja propriedade fundamental conhecemos. Defina
. Então
quando
, e
Essa reescrita é útil porque reduz o problema a entender o comportamento de
quando
.
Passo 3
Agora vou lembrar e provar, de maneira clássica e intuitiva, a propriedade chave:
Prova (argumento por desigualdades / teorema do sanduíche). Para
vale a conhecida desigualdade geométrica
Explicando por que isso é verdade (versão curta e intuitiva): no triângulo e sectores do círculo unitário obtém-se as desigualdades
. Dividindo essa cadeia por
resulta
. Tomando recíprocos (todos positivos) obtemos
. Como
quando
, pelas desigualdades e pelo teorema do sanduíche segue que
Essa é uma propriedade básica de limites em cálculo e é exatamente o que precisamos aplicar ao termo
com
.
Passo 4
Aplicamos o resultado do Passo 3 ao nosso
. Como
, temos
Multiplicando por
(constante), obtemos
Portanto a sequência converge e o seu limite é
.
Passo 5
Para consolidar a intuição, veja alguns valores aproximados (apenas para sentir a aproximação; estes cálculos são ilustrativos):
e para
maior a sequência vai se aproximando de
. Isso confirma numericamente o resultado teórico acima.