Exemplo 1.38. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n} definida por
x_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)
e pede para discutir a convergência dela quando n\to\infty. Ou seja, precisamos dizer se a sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite
\lim_{n\to\infty} x_{n}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\bullet a sequência é dada explicitamente em termos da função \operatorname{sen} aplicada ao argumento \pi/n;\n
\bullet quando n\to\infty o argumento \pi/n tende a 0; isso costuma ser chave para limites que envolvem \operatorname{sen} dividido por seu argumento.

Passo 2

Vamos reescrever x_{n} de forma que apareça a razão clássica \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, cuja propriedade fundamental conhecemos. Defina t_{n}=\dfrac{\pi}{n}. Então t_{n}\to 0^{+} quando n\to\infty, e
x_{n}=n\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\pi\cdot\frac{\operatorname{sen}(t_{n})}{t_{n}}.
Essa reescrita é útil porque reduz o problema a entender o comportamento de \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{t} quando t\to 0.

Passo 3

Agora vou lembrar e provar, de maneira clássica e intuitiva, a propriedade chave:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Prova (argumento por desigualdades / teorema do sanduíche). Para t\in(0,\tfrac{\pi}{2}) vale a conhecida desigualdade geométrica
\cos t \le \frac{\operatorname{sen} t}{t} \le 1.
Explicando por que isso é verdade (versão curta e intuitiva): no triângulo e sectores do círculo unitário obtém-se as desigualdades \operatorname{sen} t < t < \tan t. Dividindo essa cadeia por \operatorname{sen} t>0 resulta 1 < \dfrac{t}{\operatorname{sen} t} < \dfrac{1}{\cos t}. Tomando recíprocos (todos positivos) obtemos \cos t < \dfrac{\operatorname{sen} t}{t} < 1. Como \cos t\to 1 quando t\to 0, pelas desigualdades e pelo teorema do sanduíche segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Essa é uma propriedade básica de limites em cálculo e é exatamente o que precisamos aplicar ao termo \dfrac{\operatorname{sen}(t_{n})}{t_{n}} com t_{n}\to 0.

Passo 4

Aplicamos o resultado do Passo 3 ao nosso t_{n}=\dfrac{\pi}{n}. Como t_{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(t_{n})}{t_{n}}=1.
Multiplicando por \pi (constante), obtemos
\lim_{n\to\infty} x_{n}=\lim_{n\to\infty}\pi\cdot\frac{\operatorname{sen}(t_{n})}{t_{n}}=\pi\cdot 1=\pi.
Portanto a sequência converge e o seu limite é \pi.

Passo 5

Para consolidar a intuição, veja alguns valores aproximados (apenas para sentir a aproximação; estes cálculos são ilustrativos):
x_{1}=1\cdot\operatorname{sen}\pi=0,\quad x_{2}=2\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=2,\quad x_{3}=3\operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx2,598,
e para n maior a sequência vai se aproximando de \pi\approx 3,14159. Isso confirma numericamente o resultado teórico acima.

Resposta

\pi

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