Exemplo 99. Calcule, usando integral dupla, a área da região
delimitada pelos gráficos de
e
, com
.
Passo 1
O enunciado dá a região
que é delimitada pelos gráficos das curvas
e
e informa que o parâmetro
na região satisfaz
O que se pede é: calcular a área da região
.
Passo 2
Vamos lembrar a ideia central: a área de uma região plana
pode ser escrita como integral dupla do integrando
sobre
. Ou seja,
Uma maneira prática, quando nos dão um intervalo para
, é integrar primeiro em
(variável interna) e depois em
(variável externa). Nesse caso, para cada
fixo a seção horizontal da região vai de uma curva à outra, então a integral pode ser escrita como
Aqui
é a abscissa da curva mais à direita para aquele
e
a da curva mais à esquerda.
Passo 3
Precisamos saber, para cada
em
, qual das curvas dá
maior. Igualando as duas curvas para achar pontos de interseção:
Resolvendo a quadrática:
Da faixa dada
apenas
pertence. Portanto as curvas se cruzam em
. Para decidir quem é maior em cada subintervalo, testamos um
menor que
(por exemplo
):
ou seja, para
tem
e
. Para
o sinal inverte (por exemplo
:
), então para
temos
e
.
Por isso devemos dividir a integral em dois trechos, com ponto de quebra em
.
Passo 4
Escrevemos a área como soma das duas integrais (diferença direita menos esquerda em cada trecho):
Vamos calcular a primeira integral passo a passo. Expandindo o integrando:
Uma antiderivada é
Avaliaremos
em
e
:
Portanto a primeira integral vale
Passo 5
Agora calculamos a segunda integral. O integrando é
Uma antiderivada é
Avaliaremos
em
e
:
Assim a segunda integral vale
Passo 6
Somando as duas parcelas obtemos a área total:
Podemos também ver numericamente
.