Exemplo 99. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pelos gráficos de x=y^{2} e x+y=2, com -1 / 2 \leq y \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a região R que é delimitada pelos gráficos das curvas
x = y^{2}
e
x + y = 2
e informa que o parâmetro y na região satisfaz
-\,\tfrac{1}{2} \leq y \leq 2.
O que se pede é: calcular a área da região R.

Passo 2

Vamos lembrar a ideia central: a área de uma região plana R pode ser escrita como integral dupla do integrando 1 sobre R. Ou seja,
A=\iint_{R} 1\,dA.
Uma maneira prática, quando nos dão um intervalo para y, é integrar primeiro em x (variável interna) e depois em y (variável externa). Nesse caso, para cada y fixo a seção horizontal da região vai de uma curva à outra, então a integral pode ser escrita como
A=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.
Aqui x_{\text{direita}}(y) é a abscissa da curva mais à direita para aquele y e x_{\text{esquerda}}(y) a da curva mais à esquerda.

Passo 3

Precisamos saber, para cada y em \left[-\tfrac{1}{2},2\right], qual das curvas dá x maior. Igualando as duas curvas para achar pontos de interseção:
y^{2}=2-y \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+y-2=0.
Resolvendo a quadrática:
(y+2)(y-1)=0 \quad\Rightarrow\quad y=-2\\ \text{ou}\\ y=1.
Da faixa dada \left[-\tfrac{1}{2},2\right] apenas y=1 pertence. Portanto as curvas se cruzam em y=1. Para decidir quem é maior em cada subintervalo, testamos um y menor que 1 (por exemplo y=0):
y^{2}=0,\quad 2-y=2 \Rightarrow 2-y > y^{2},
ou seja, para y<1 tem x_{\text{direita}}(y)=2-y e x_{\text{esquerda}}(y)=y^{2}. Para y>1 o sinal inverte (por exemplo y=2: y^{2}=4>0=2-y), então para y>1 temos x_{\text{direita}}(y)=y^{2} e x_{\text{esquerda}}(y)=2-y.
Por isso devemos dividir a integral em dois trechos, com ponto de quebra em y=1.

Passo 4

Escrevemos a área como soma das duas integrais (diferença direita menos esquerda em cada trecho):
A=\int_{-1/2}^{1}\bigl((2-y)-y^{2}\bigr)\,dy+\int_{1}^{2}\bigl(y^{2}-(2-y)\bigr)\,dy.
Vamos calcular a primeira integral passo a passo. Expandindo o integrando:
(2-y)-y^{2}=2-y-y^{2}.
Uma antiderivada é
F(y)=2y-\tfrac{y^{2}}{2}-\tfrac{y^{3}}{3}.
Avaliaremos F em y=1 e y=-\tfrac{1}{2}:
F(1)=2-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{6},
F\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=2\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)-\tfrac{(-\tfrac{1}{2})^{2}}{2}-\tfrac{(-\tfrac{1}{2})^{3}}{3} =-1-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{24}=-\tfrac{13}{12}.
Portanto a primeira integral vale
\int_{-1/2}^{1}(2-y-y^{2})\,dy=F(1)-F\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{7}{6}-\bigl(-\tfrac{13}{12}\bigr)=\tfrac{9}{4}.

Passo 5

Agora calculamos a segunda integral. O integrando é
y^{2}-(2-y)=y^{2}+y-2.
Uma antiderivada é
G(y)=\tfrac{y^{3}}{3}+\tfrac{y^{2}}{2}-2y.
Avaliaremos G em y=2 e y=1:
G(2)=\tfrac{8}{3}+\tfrac{4}{2}-4=\tfrac{8}{3}+2-4=\tfrac{2}{3},
G(1)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{7}{6}.
Assim a segunda integral vale
\int_{1}^{2}(y^{2}+y-2)\,dy=G(2)-G(1)=\tfrac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr)=\tfrac{11}{6}.

Passo 6

Somando as duas parcelas obtemos a área total:
A=\tfrac{9}{4}+\tfrac{11}{6}=\tfrac{27}{12}+\tfrac{22}{12}=\tfrac{49}{12}.
Podemos também ver numericamente A\approx 4{,}0833.

Resposta

\dfrac{49}{12}

Exercícios relacionados