Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valores de contorno
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - As condições de contorno são
e .
Objetivo: encontrar uma funçãoque satisfaça a equação diferencial em todos os e as duas condições de contorno, ou mostrar que não existe solução.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada
A técnica padrão é usar a equação característica. Substituímos
e obtemos
As raízes são
. Isso significa que a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias. Pequena intuição: raízes puramente imaginárias geram funções oscilatórias
e
, e as constantes multiplicadoras ficam para ajustar as condições.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O termo fonte é um polinômio de grau
(ou seja,
), então usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos um ansatz polinomial de grau
:
com
e
constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial,
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes dos polinômios (mesmo procedimento que você faria com polinômios):
Logo
Portanto
Observação didática: verificamos que não houve ressonância entre o ansatz polinomial e a solução homogênea — a homogênea é trigonométrica, não polinomial — então o ansatz simples funciona.
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Aplicamos a primeira condição de contorno
. Calculando
:
Como
, temos
Assim a solução simplifica para
Passo 6
Aplicamos a segunda condição de contorno
. Calculando
:
Exigindo
obtemos
Isso dá
Precisamos assegurar que não estamos dividindo por zero. Note que
porque
é irracional; portanto
não é múltiplo inteiro de
, logo o seno não se anula. Conclusão:
existe e é único.
Passo 7
Para ficar tranquilo, fazemos uma verificação rápida: com
e o valor de
acima, calcule
. Como
, temos
confirmando que a solução satisfaz a equação diferencial. Também satisfez as duas condições de contorno; portanto existe uma única solução e ela foi encontrada.