Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+2 y=x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valores de contorno
y''+2y=x,\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é y''+2y=x.
  • As condições de contorno são y(0)=0 e y(\pi)=0.
    Objetivo: encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial em todos os x e as duas condições de contorno, ou mostrar que não existe solução.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada
y_h''+2y_h=0.
A técnica padrão é usar a equação característica. Substituímos y_h=e^{rx} e obtemos
r^2+2=0.
As raízes são r=\pm i\sqrt{2}. Isso significa que a solução geral da homogênea é combinação linear de cosseno e seno:
y_h(x)=C_1\cos(\sqrt{2}\,x)+C_2\sin(\sqrt{2}\,x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Pequena intuição: raízes puramente imaginárias geram funções oscilatórias \cos e \sin, e as constantes multiplicadoras ficam para ajustar as condições.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa. O termo fonte é um polinômio de grau 1 (ou seja, x), então usamos o método dos coeficientes indeterminados e tentamos um ansatz polinomial de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
com a e b constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_p'(x)=a,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo na equação diferencial,
y_p''+2y_p=0+2(ax+b)=2ax+2b.
Queremos que isso seja igual a x. Igualando coeficientes dos polinômios (mesmo procedimento que você faria com polinômios):
2a=1,\qquad 2b=0.
Logo
a=\tfrac{1}{2},\qquad b=0.
Portanto
y_p(x)=\tfrac{1}{2}x.
Observação didática: verificamos que não houve ressonância entre o ansatz polinomial e a solução homogênea — a homogênea é trigonométrica, não polinomial — então o ansatz simples funciona.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(\sqrt{2}\,x)+C_2\sin(\sqrt{2}\,x)+\tfrac{1}{2}x.

Passo 5

Aplicamos a primeira condição de contorno y(0)=0. Calculando y(0):
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)+\tfrac{1}{2}\cdot 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=0, temos
C_1=0.
Assim a solução simplifica para
y(x)=C_2\sin(\sqrt{2}\,x)+\tfrac{1}{2}x.

Passo 6

Aplicamos a segunda condição de contorno y(\pi)=0. Calculando y(\pi):
y(\pi)=C_2\sin(\sqrt{2}\,\pi)+\tfrac{1}{2}\pi.
Exigindo y(\pi)=0 obtemos
C_2\sin(\sqrt{2}\,\pi) + \tfrac{1}{2}\pi = 0.
Isso dá
C_2 = -\dfrac{\tfrac{1}{2}\pi}{\sin(\sqrt{2}\,\pi)} = -\dfrac{\pi}{2\sin(\sqrt{2}\,\pi)}.
Precisamos assegurar que não estamos dividindo por zero. Note que \sin(\sqrt{2}\,\pi)\neq 0 porque \sqrt{2} é irracional; portanto \sqrt{2}\,\pi não é múltiplo inteiro de \pi, logo o seno não se anula. Conclusão: C_2 existe e é único.

Passo 7

Para ficar tranquilo, fazemos uma verificação rápida: com C_1=0 e o valor de C_2 acima, calcule y''+2y. Como \big(\sin(\sqrt{2}\,x)\big)''=-2\sin(\sqrt{2}\,x), temos
y''+2y = C_2(-2\sin(\sqrt{2}\,x)) + 2\big(C_2\sin(\sqrt{2}\,x)+\tfrac{1}{2}x\big) = x,
confirmando que a solução satisfaz a equação diferencial. Também satisfez as duas condições de contorno; portanto existe uma única solução e ela foi encontrada.

Resposta

y(x)=-\dfrac{\pi}{2\sin(\sqrt{2}\,\pi)}\sin(\sqrt{2}\,x)+\dfrac{1}{2}x

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