Sejam as afirmações:
I) A equação
representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços
e
da superfície
são hipérboles.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Todas as afirmações são falsas.
c. As afirmações II e III são verdadeiras.
d. Todas as afirmações são verdadeiras.
e. Apenas a afirmação III é falsa.
I) A equação
II) Os traços
III) Todas as seções
Passo 1
O enunciado dá três afirmações sobre superfícies/quádricas e pede que eu indique quais são verdadeiras. As afirmações são:
I) A equação
representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços
,
e
da superfície
são hipérboles.
III) Todas as seções
da superfície
são elipses.
Informações relevantes dadas: as três equações explícitas das superfícies; por "traço
" entende-se a interseção da superfície com o plano
; por "seção
" entende-se a interseção com o plano paralelo
. A tarefa é verificar a veracidade de cada afirmação.
Passo 2
Entendimento do que é um parabolóide hiperbólico (aula curta e intuitiva).
- Uma quádrupla do tipo “parabolóide” é uma superfície onde uma das coordenadas aparece de forma linear e as outras duas aparecem ao quadrado. Em forma padrão, temos duas possibilidades principais:
- Parabolóide elíptico:
(ex.: ). - Parabolóide hiperbólico:
(ex.: ), que tem formato de sela.
- Parabolóide elíptico:
- Regra prática: se a variável isolada está igual a uma combinação quadrática das outras duas com sinais opostos, é um parabolóide hiperbólico; se os sinais são iguais, é elíptico.
Passo 3
Aplicando isso à afirmação I.
- Começo reescrevendo a equação dada:
- Isolando
:
- Aqui
aparece linearmente do lado esquerdo, enquanto e aparecem ao quadrado no lado direito, com coeficientes de sinais opostos (coeficiente de positivo, coeficiente de negativo). Isso é exatamente o formato típico de um parabolóide hiperbólico (uma sela), do tipo . - Conclusão desta etapa: a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Breve exemplo extra para fixar (opcional, mas útil):
é a forma canônica de um parabolóide hiperbólico. Nossa equação é a mesma ideia, só com constantes de escala
e
.
Passo 5
Agora trato a afirmação II: analisar os traços da superfície
Vou calcular cada traço (interseção com os planos
) e ver que tipo de cônica aparece.
Passo 6
Traço para
.
- Coloco
na equação:
ou seja
- Isolando e rearranjando:
- O lado esquerdo
é sempre para reais, então não pode ser igual a . Portanto não existem pontos reais nesta interseção: o traço em é vazio (nenhuma curva real), não é uma hipérbole.
Passo 7
Traço para
.
- Coloco
:
ou
- Rearranjando para escrever numa forma padrão de cônica:
- Isso é do tipo
com . Esse é o tipo clássico de uma hipérbole (duas folhas) no plano . Logo o traço em é uma hipérbole.
Passo 8
Traço para
.
- Coloco
:
ou
- Novamente é do tipo
com ; isso também é uma hipérbole no plano .
Passo 9
Conclusão sobre a afirmação II:
- Os traços em
e são hipérboles, mas o traço em não tem pontos reais (é vazio). Portanto a afirmação que diz que os três traços são hipérboles é falsa.
Passo 10
Agora analiso a afirmação III: seções
da superfície
- Uma seção
significa fixar (número real) e ver a curva no plano .
Passo 11
Calcule a equação da seção
.
- Substituindo
temos:
- Isolando os termos em
:
Passo 12
Classificação dessa curva no plano
.
- Se
então a equação representa uma elipse (é soma de quadrados igual a constante positiva). - Se
então implica — apenas o ponto (caso degenerado, não é uma elipse propriamente dita). - Se
então a igualdade não admite solução real (lado esquerdo , não pode ser igual a número negativo) — traço vazio.
Passo 13
Determinar para quais
a seção é elipse.
- A condição
equivale a
- Portanto apenas para
a seção é uma elipse. Para a seção é o ponto . Para não há interseção real.
Passo 14
Conclusão sobre a afirmação III:
- A afirmação diz que “todas as seções
são elipses”. Isso é falso: somente as seções com são elipses; para valores maiores de não existem pontos reais e para a seção é degenerada (ponto).
Passo 15
Resumo final das verificações (sem repetir a alternativa escolhida):
- I é verdadeira.
- II é falsa (porque o traço em
é vazio). - III é falsa (nem todas as seções
são elipses; só ocorrem para ).
Resposta
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.