Sejam as afirmações:
I) A equação \frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2} representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços x=0, y=0 e z=0 da superfície 3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2} são hipérboles.
III) Todas as seções z=k da superfície 5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1 são elipses.
Marque a alternativa correta:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
\bigcirc b. Todas as afirmações são falsas.
\bigcirc c. As afirmações II e III são verdadeiras.
\bigcirc d. Todas as afirmações são verdadeiras.
\bigcirc e. Apenas a afirmação III é falsa.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações sobre superfícies/quádricas e pede que eu indique quais são verdadeiras. As afirmações são:
I) A equação \frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2} representa um parabolóide hiperbólico.
II) Os traços x=0, y=0 e z=0 da superfície 3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2} são hipérboles.
III) Todas as seções z=k da superfície 5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1 são elipses.
Informações relevantes dadas: as três equações explícitas das superfícies; por "traço x=0" entende-se a interseção da superfície com o plano x=0; por "seção z=k" entende-se a interseção com o plano paralelo z=k. A tarefa é verificar a veracidade de cada afirmação.

Passo 2

Entendimento do que é um parabolóide hiperbólico (aula curta e intuitiva).
  • Uma quádrupla do tipo “parabolóide” é uma superfície onde uma das coordenadas aparece de forma linear e as outras duas aparecem ao quadrado. Em forma padrão, temos duas possibilidades principais:
    • Parabolóide elíptico: \; \text{variável linear} = \text{(soma de quadrados)} \;á (ex.: z = x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2}).
    • Parabolóide hiperbólico: \; \text{variável linear} = \text{(diferença de quadrados)} \;áç (ex.: y = x^{2}/a^{2} - z^{2}/b^{2}), que tem formato de sela.
  • Regra prática: se a variável isolada está igual a uma combinação quadrática das outras duas com sinais opostos, é um parabolóide hiperbólico; se os sinais são iguais, é elíptico.

Passo 3

Aplicando isso à afirmação I.
  • Começo reescrevendo a equação dada:
\frac{x^{2}}{5}+y=3 z^{2}.
  • Isolando y:
y = 3 z^{2} - \frac{x^{2}}{5}.
  • Aqui y aparece linearmente do lado esquerdo, enquanto x e z aparecem ao quadrado no lado direito, com coeficientes de sinais opostos (coeficiente de z^{2} positivo, coeficiente de x^{2} negativo). Isso é exatamente o formato típico de um parabolóide hiperbólico (uma sela), do tipo \text{variável linear} = \text{quadrado} - \text{outro quadrado}á.
  • Conclusão desta etapa: a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Breve exemplo extra para fixar (opcional, mas útil): y = x^{2} - z^{2} é a forma canônica de um parabolóide hiperbólico. Nossa equação é a mesma ideia, só com constantes de escala 1/5 e 3.

Passo 5

Agora trato a afirmação II: analisar os traços da superfície
3 x^{2}-4 y^{2}=1+5 z^{2}.
Vou calcular cada traço (interseção com os planos x=0, y=0, z=0) e ver que tipo de cônica aparece.

Passo 6

Traço para x=0.
  • Coloco x=0 na equação:
3\cdot 0^{2} - 4 y^{2} = 1 + 5 z^{2},
ou seja
-4 y^{2} = 1 + 5 z^{2}.
  • Isolando e rearranjando:
4 y^{2} + 5 z^{2} = -1.
  • O lado esquerdo 4 y^{2} + 5 z^{2} é sempre \ge 0 para y,z reais, então não pode ser igual a -1. Portanto não existem pontos reais nesta interseção: o traço em x=0 é vazio (nenhuma curva real), não é uma hipérbole.

Passo 7

Traço para y=0.
  • Coloco y=0:
3 x^{2} - 4\cdot 0^{2} = 1 + 5 z^{2},
ou
3 x^{2} = 1 + 5 z^{2}.
  • Rearranjando para escrever numa forma padrão de cônica:
3 x^{2} - 5 z^{2} = 1.
  • Isso é do tipo A x^{2} - B z^{2} = 1 com A>0, B>0. Esse é o tipo clássico de uma hipérbole (duas folhas) no plano y=0. Logo o traço em y=0 é uma hipérbole.

Passo 8

Traço para z=0.
  • Coloco z=0:
3 x^{2} - 4 y^{2} = 1 + 5\cdot 0^{2},
ou
3 x^{2} - 4 y^{2} = 1.
  • Novamente é do tipo A x^{2} - B y^{2} = 1 com A>0, B>0; isso também é uma hipérbole no plano z=0.

Passo 9

Conclusão sobre a afirmação II:
  • Os traços em y=0 e z=0 são hipérboles, mas o traço em x=0 não tem pontos reais (é vazio). Portanto a afirmação que diz que os três traços x=0, y=0, z=0 são hipérboles é falsa.

Passo 10

Agora analiso a afirmação III: seções z=k da superfície
5 x^{2}+8 y^{2}+2 z^{2}=1.
  • Uma seção z=k significa fixar z=k (número real) e ver a curva no plano z=k.

Passo 11

Calcule a equação da seção z=k.
  • Substituindo z=k temos:
5 x^{2} + 8 y^{2} + 2 k^{2} = 1.
  • Isolando os termos em x,y:
5 x^{2} + 8 y^{2} = 1 - 2 k^{2}.

Passo 12

Classificação dessa curva no plano z=k.
  • Se 1 - 2 k^{2} > 0 então a equação 5 x^{2} + 8 y^{2} = \text{positivo} representa uma elipse (é soma de quadrados igual a constante positiva).
  • Se 1 - 2 k^{2} = 0 então 5 x^{2} + 8 y^{2} = 0 implica x=0, y=0 — apenas o ponto (0,0) (caso degenerado, não é uma elipse propriamente dita).
  • Se 1 - 2 k^{2} < 0 então a igualdade não admite solução real (lado esquerdo \ge 0, não pode ser igual a número negativo) — traço vazio.

Passo 13

Determinar para quais k a seção é elipse.
  • A condição 1 - 2 k^{2} > 0 equivale a
2 k^{2} < 1 \quad\Rightarrow\quad k^{2} < \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad |k| < \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Portanto apenas para |k| < \frac{1}{\sqrt{2}} a seção é uma elipse. Para |k| = \frac{1}{\sqrt{2}} a seção é o ponto (0,0). Para |k| > \frac{1}{\sqrt{2}} não há interseção real.

Passo 14

Conclusão sobre a afirmação III:
  • A afirmação diz que “todas as seções z=k são elipses”. Isso é falso: somente as seções com |k|<\frac{1}{\sqrt{2}} são elipses; para valores maiores de |k| não existem pontos reais e para |k|=\frac{1}{\sqrt{2}} a seção é degenerada (ponto).

Passo 15

Resumo final das verificações (sem repetir a alternativa escolhida):
  • I é verdadeira.
  • II é falsa (porque o traço em x=0 é vazio).
  • III é falsa (nem todas as seções z=k são elipses; só ocorrem para |k|<1/\sqrt{2}).

Resposta

a. Apenas a afirmação I é verdadeira.

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