4.3 (Exemplo) Uma barra constituída de aço e latão ( E_{a}=203 \mathrm{GPa}, E_{l}=105 \mathrm{GPa} ) tem a seção indicada abaixo. Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra é sujeita à flexão pura com um momento M=4,5 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}.
(Para valores diferentes)

Passo 1

O enunciado descreve uma viga de flexão pura com momento interno M=4{,}5\;\mathrm{kN\cdot m} e seção composta por um laminado central de aço ( E_{a}=203\;\mathrm{GPa}, largura b_{a}=19\;\mathrm{mm}) e duas lâminas de latão ( E_{l}=105\;\mathrm{GPa}, cada uma com largura b_{l}=10\;\mathrm{mm}). A altura total da seção é h=76\;\mathrm{mm}.
Conteúdo: flexão de seção composta. Vamos usar o método da seção transformada (ou diretamente somar E_iI_i) para achar a curvatura \kappa e, em seguida, obter as tensões máximas em cada material por
\sigma_i = E_i\,\kappa\,y_{\max}.

Passo 2

Definimos a posição do eixo neutro (EN) e a inércia equivalente. A seção é simétrica em profundidade, logo o EN está no meio, a y=0 no centro e as fibras extremas a y_{\max}=38\;\mathrm{mm}.
Para obter \kappa precisamos de
\sum E_i I_i = E_a I_a + 2\,E_l I_l,
onde cada retângulo tem
I = \frac{b\,h^3}{12}.

Passo 3

Calcular I_a e I_l:
I_a = \frac{b_a\,h^3}{12} = \frac{19\,(76)^3}{12} =6{,}95045\times10^5\;\mathrm{mm^4},
I_l = \frac{b_l\,h^3}{12} = \frac{10\,(76)^3}{12} =3{,}65813\times10^5\;\mathrm{mm^4}.
Como há duas lâminas de latão, a soma das inércias do latão é
2\,I_l = 7{,}31627\times10^5\;\mathrm{mm^4}.

Passo 4

Montamos \sum E_iI_i usando E_a=203\,000\;\mathrm{N/mm^2} e E_l=105\,000\;\mathrm{N/mm^2}:
E_a I_a =203000\times6{,}95045\times10^5 =1{,}41094\times10^{11}\;\mathrm{N\,mm^2},
2\,E_l I_l =105000\times7{,}31627\times10^5 =7{,}68208\times10^{10}\;\mathrm{N\,mm^2}.
Logo
\sum E_iI_i =2{,}17915\times10^{11}\;\mathrm{N\,mm^2}.

Passo 5

A curvatura é
\kappa = \frac{M}{\sum E_iI_i} = \frac{4{,}5\times10^6}{2{,}17915\times10^{11}} =2{,}064\times10^{-5}\;\mathrm{mm^{-1}}.

Passo 6

As tensões máximas (na fibra mais afastada, y_{\max}=38\;\mathrm{mm}) são
\sigma_a = E_a\,\kappa\,y_{\max} =203000\times2{,}064\times10^{-5}\times38 \approx159{,}3\;\mathrm{MPa},
\sigma_l = E_l\,\kappa\,y_{\max} =105000\times2{,}064\times10^{-5}\times38 \approx82{,}4\;\mathrm{MPa}.

Resposta

Tensão máxima no aço: aproximadamente 159{,}3\;\mathrm{MPa}.
Tensão máxima no latão: aproximadamente 82{,}4\;\mathrm{MPa}.

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