3.8-4 (Gere e Goodno 2009) O eixo vazado A C B tem diâmetro externo de 50 mm e diâmetro interno de 40 mm e é engastado nas extremidades A e B. Forças horizontais P são aplicadas nas extremidades de um braço vertical que é soldado ao eixo no ponto C. Determine o valor admissível das forças P se a máxima tensão cisalhante admissível no eixo é de 45 MPa .

Passo 1

O eixo oco A\!C\!B tem diâmetro externo D_o=50 mm e interno D_i=40 mm e está engastado em A e B. No ponto C há um braço vertical onde se aplicam duas forças horizontais iguais P, uma para a esquerda no topo e outra para a direita na base, separadas por 200+200=400 mm. O único efeito no eixo é um torque de torção. Vamos usar a teoria da tensão cisalhante em torção, em que
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
sendo c o raio externo e J o momento polar de inércia.

Passo 2

As duas forças P formam um par de forças (couple) de braço 400 mm, gerando um torque
T = P \times 400\text{ mm}.

Passo 3

O momento polar de inércia de uma seção circular oca é
J = \frac{\pi}{32}\bigl(D_o^4 - D_i^4\bigr).
Substituindo D_o=50 mm e D_i=40 mm,
J = \frac{\pi}{32}\bigl(50^4 - 40^4\bigr)\approx 3{,}62\times 10^5\text{ mm}^4.

Passo 4

A tensão cisalhante máxima admissível é \tau_{\max}=45 MPa. Como
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
com c=D_o/2=25 mm, isolamos
T = \frac{\tau_{\max}\,J}{c} = \frac{45\:\text{N/mm}^2 \times 3{,}62\times 10^5\:\text{mm}^4}{25\:\text{mm}} \approx 6{,}52\times10^5\:\text{N\cdotmm}.

Passo 5

Igualando este T ao torque produzido pelo par de forças, T=P\,(400\:\text{mm}), vem
P = \frac{T}{400\:\text{mm}} = \frac{6{,}52\times10^5\:\text{N\cdotmm}}{400\:\text{mm}} \approx 1{,}63\times10^3\:\text{N}.

Resposta

O valor admissível de cada força P é aproximadamente 1{,}63 kN.

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