Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+t=0\right\}

Passo 1

O espaço V é o subconjunto de \mathbb{R}^4 formado pelos vetores (x,y,z,t) que satisfazem a equação linear
x + y + z + t = 0.
O conteúdo é subespaço definido por uma única restrição linear, e queremos encontrar uma base de V e sua dimensão.

Passo 2

Como há quatro coordenadas e uma equação linear independente, o número de graus de liberdade é
4 - 1 = 3.
Isso indica que \dim(V)=3. Para encontrar explicitamente uma base, vamos parametrizar os vetores de V em função de três variáveis livres.

Passo 3

Escolhendo x, y e z como parâmetros livres, a condição x+y+z+t=0 implica
t = -\,x - y - z.
Portanto, um vetor genérico de V pode ser escrito como
(x,y,z,t) = (x,y,z,-x-y-z).
Reescrevendo em forma de combinação linear, temos
(x,y,z,-x-y-z) = x\,(1,0,0,-1) \;+\; y\,(0,1,0,-1) \;+\; z\,(0,0,1,-1).

Passo 4

Os três vetores
(1,0,0,-1),\quad (0,1,0,-1),\quad (0,0,1,-1)
são claramente linearmente independentes e geram todos os vetores de V. Logo, eles formam uma base de V e, de fato, \dim(V)=3.

Resposta

Uma base de V é
\{(1,0,0,-1),\;(0,1,0,-1),\;(0,0,1,-1)\},
e sua dimensão é 3.

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