Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a sua dimensão:
Passo 1
O espaço
é o subconjunto de
formado pelos vetores
que satisfazem a equação linear
O conteúdo é subespaço definido por uma única restrição linear, e queremos encontrar uma base de
e sua dimensão.
Passo 2
Como há quatro coordenadas e uma equação linear independente, o número de graus de liberdade é
Isso indica que
. Para encontrar explicitamente uma base, vamos parametrizar os vetores de
em função de três variáveis livres.
Passo 3
Escolhendo
,
e
como parâmetros livres, a condição
implica
Portanto, um vetor genérico de
pode ser escrito como
Reescrevendo em forma de combinação linear, temos
Passo 4
Os três vetores
são claramente linearmente independentes e geram todos os vetores de
. Logo, eles formam uma base de
e, de fato,
.
Resposta
Uma base de
é
e sua dimensão é
.