a) Calcule, em função de \lambda, \operatorname{det}(A-\lambda I).
Para que valores de \lambda tem-se que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0 ?
Substitua \lambda=1 e depois \lambda=-1 no sistema acima e resolva-os (são dois homogêneos mesmo).
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Calcular, em função de \lambda, \det(A-\lambda I).
Determinar para que valores de \lambda temos \det(A-\lambda I)=0.
Substituir \lambda=1 e \lambda=-1 em (A-\lambda I)\mathrm{X}=\mathbf{O} e resolver cada um desses sistemas homogêneos.
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
A terceira é redundante: substituindo x=z\] e \(y=z obtemos z+z-2z=0, identidade verdadeira. Portanto há uma variável livre; escolho z=t\in\mathbb{R}. Assim
x=t,\quad y=t,\quad z=t,
ou seja as soluções são todos os múltiplos de
\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{bmatrix}.
Interpretação prática: o espaço nulo tem dimensão 1 e uma base é \{(1,1,1)\}.]
Passo 5
Agora substituo \lambda=-1 e resolvo (A+I)\mathrm{X}=\mathbf{0}. A matriz fica