Exemplo 4: Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P 2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas, as demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.

Passo 1

O enunciado pede que se construa um modelo matemático (modelo de programação linear) para a produção mensal de dois produtos, com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Dados fornecidos:
  • Lucro por unidade de P1: 100 unidades monetárias (u.m.).
  • Lucro por unidade de P2: 150 u.m.
  • Tempo necessário para fabricar uma unidade de P1: 2 horas.
  • Tempo necessário para fabricar uma unidade de P2: 3 horas.
  • Tempo mensal disponível: 120 horas.
  • Limite máximo de produção por mês de P1: 40 unidades.
  • Limite máximo de produção por mês de P2: 30 unidades.
O que o enunciado pede exatamente:
  • Construir o modelo matemático que representa a decisão de quanto produzir de P1 e P2 por mês de forma a maximizar o lucro, respeitando o tempo disponível e os limites de demanda.

Passo 2

Escolha e definição das variáveis de decisão (etapa fundamental em modelagem).
  • Definir x_1 como o número de unidades de P1 produzidas no mês.
  • Definir x_2 como o número de unidades de P2 produzidas no mês.
Explicação didática: toda modelagem começa por transformar as quantidades que podemos controlar (aqui: quantas unidades produzir de cada produto) em variáveis. Essas variáveis devem representar exatamente o que a empresa decide.

Passo 3

Formular a função objetivo (o que queremos maximizar).
  • O lucro total por mês é a soma do lucro de cada produto: lucro de P1 mais lucro de P2.
  • Cada unidade de P1 100 u.m., logo contribuição de P1 é 100 x_1.
  • Cada unidade de P2 150 u.m., logo contribuição de P2 é 150 x_2.
A função objetivo em forma matemática é:
\text{Maximizar } Z = 100\,x_1 + 150\,x_2
Explicação didática: a função objetivo é uma soma ponderada das variáveis, onde os pesos são os lucros unitários. Maximizar Z significa escolher x_1 e x_2 para obter o maior lucro possível.

Passo 4

Traduzir a restrição de tempo disponível em uma inequação.
  • Cada unidade de P1 consome 2 horas, portanto 2x_1 horas no total.
  • Cada unidade de P2 consome 3 horas, portanto 3x_2 horas no total.
  • O total de horas gastas não pode exceder as 120 horas disponíveis.
A restrição de tempo fica:
2\,x_1 + 3\,x_2 \le 120
Explicação didática: somamos o tempo consumido por todas as unidades produzidas e impomos que essa soma seja menor ou igual ao tempo disponível. O sinal \le indica “no máximo”.

Passo 5

Incluir as restrições de demanda / limites de produção.
  • A produção de P1 não pode ultrapassar 40 unidades por mês, logo:
x_1 \le 40
  • A produção de P2 não pode ultrapassar 30 unidades por mês, logo:
x_2 \le 30
Explicação didática: essas restrições capturam limites externos (demanda, capacidade de venda, políticas da empresa) que não permitem produzir além desses valores.

Passo 6

Impor a condição de não negatividade (físico e lógico).
  • Não faz sentido produzir quantidades negativas, portanto:
x_1 \ge 0,\qquad x_2 \ge 0
Explicação didática: em modelos de produção, as variáveis de quantidade devem ser não-negativas. Em muitos casos também se poderia exigir inteiros, mas o enunciado não exige integralidade explícita; aqui mantemos o modelo contínuo padrão de programação linear.

Passo 7

Montagem final do modelo (juntando objetivo e todas as restrições). Este é o modelo de programação linear que representa o sistema de produção mensal com objetivo de maximizar o lucro:
\text{Maximizar } Z = 100\,x_1 + 150\,x_2
sujeito a
2\,x_1 + 3\,x_2 \le 120
x_1 \le 40
x_2 \le 30
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0
Breve comentário prático: com esse modelo já é possível, na prova, aplicar um método gráfico (por ter só duas variáveis) ou usar o método simplex/algoritmo apropriado para obter a solução ótima numérica. Mas a construção do modelo é o passo essencial — e foi feita acima.

Resposta

\text{Maximizar } Z = 100\,x_1 + 150\,x_2
\text{sujeito a}
2\,x_1 + 3\,x_2 \le 120
x_1 \le 40
x_2 \le 30
x_1 \ge 0,\quad x_2 \ge 0

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