Exemplo 4: Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P 2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas, as demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Passo 1
O enunciado pede que se construa um modelo matemático (modelo de programação linear) para a produção mensal de dois produtos, com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Dados fornecidos:
- Lucro por unidade de
: unidades monetárias (u.m.). - Lucro por unidade de
: u.m. - Tempo necessário para fabricar uma unidade de
: horas. - Tempo necessário para fabricar uma unidade de
: horas. - Tempo mensal disponível:
horas. - Limite máximo de produção por mês de
: unidades. - Limite máximo de produção por mês de
: unidades.
O que o enunciado pede exatamente:
- Construir o modelo matemático que representa a decisão de quanto produzir de
e por mês de forma a maximizar o lucro, respeitando o tempo disponível e os limites de demanda.
Passo 2
Escolha e definição das variáveis de decisão (etapa fundamental em modelagem).
- Definir
como o número de unidades de produzidas no mês. - Definir
como o número de unidades de produzidas no mês.
Explicação didática: toda modelagem começa por transformar as quantidades que podemos controlar (aqui: quantas unidades produzir de cada produto) em variáveis. Essas variáveis devem representar exatamente o que a empresa decide.
Passo 3
Formular a função objetivo (o que queremos maximizar).
- O lucro total por mês é a soma do lucro de cada produto: lucro de
mais lucro de . - Cada unidade de
dá u.m., logo contribuição de é . - Cada unidade de
dá u.m., logo contribuição de é .
A função objetivo em forma matemática é:
Explicação didática: a função objetivo é uma soma ponderada das variáveis, onde os pesos são os lucros unitários. Maximizar
significa escolher
e
para obter o maior lucro possível.
Passo 4
Traduzir a restrição de tempo disponível em uma inequação.
- Cada unidade de
consome horas, portanto horas no total. - Cada unidade de
consome horas, portanto horas no total. - O total de horas gastas não pode exceder as
horas disponíveis.
A restrição de tempo fica:
Explicação didática: somamos o tempo consumido por todas as unidades produzidas e impomos que essa soma seja menor ou igual ao tempo disponível. O sinal
indica “no máximo”.
Passo 5
Incluir as restrições de demanda / limites de produção.
- A produção de
não pode ultrapassar unidades por mês, logo:
- A produção de
não pode ultrapassar unidades por mês, logo:
Explicação didática: essas restrições capturam limites externos (demanda, capacidade de venda, políticas da empresa) que não permitem produzir além desses valores.
Passo 6
Impor a condição de não negatividade (físico e lógico).
- Não faz sentido produzir quantidades negativas, portanto:
Explicação didática: em modelos de produção, as variáveis de quantidade devem ser não-negativas. Em muitos casos também se poderia exigir inteiros, mas o enunciado não exige integralidade explícita; aqui mantemos o modelo contínuo padrão de programação linear.
Passo 7
Montagem final do modelo (juntando objetivo e todas as restrições). Este é o modelo de programação linear que representa o sistema de produção mensal com objetivo de maximizar o lucro:
sujeito a
Breve comentário prático: com esse modelo já é possível, na prova, aplicar um método gráfico (por ter só duas variáveis) ou usar o método simplex/algoritmo apropriado para obter a solução ótima numérica. Mas a construção do modelo é o passo essencial — e foi feita acima.