Dê exemplo em cada caso.
Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, tal que que \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado quer uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} em que os limites laterais em x=2 existam mas sejam diferentes, ou seja,
\lim_{x\to2^-}f(x)\neq\lim_{x\to2^+}f(x).
Esse tipo de descontinuidade é chamado de “salto” ou descontinuidade de primeira espécie. Para montar um exemplo simples, basta definir f por partes com valores distintos à esquerda e à direita de 2.

Passo 2

Definimos
f(x)= \begin{cases} 0, & x<2,\\\\ 1, & x>2,\\\\ 5, & x=2. \end{cases}
Aqui escolhemos 0 para a região à esquerda de 2 e 1 para a região à direita. O valor que f toma em x=2 (aqui 5) não afeta os limites laterais.

Passo 3

Calculamos o limite pela esquerda: para x<2, f(x)=0 é constante, então
\lim_{x\to2^-}f(x)=0.

Passo 4

Calculamos o limite pela direita: para x>2, f(x)=1 é constante, então
\lim_{x\to2^+}f(x)=1.

Resposta

Um exemplo é
f(x)= \begin{cases} 0, & x<2,\\\\ 1, & x>2,\\\\ 5, & x=2, \end{cases}
pois \lim_{x\to2^-}f(x)=0\neq1=\lim_{x\to2^+}f(x).

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