Utilizando a definição de limite, verifique que.
\lim _{x \rightarrow 2} 4 x+2=10

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite, que
\lim_{x\to2}(4x+2)=10.
Isso envolve aplicar o critério “para todo \varepsilon>0 existe \delta>0” tal que 0<|x-2|<\delta implica |(4x+2)-10|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevemos a quantidade cujo módulo queremos controlar:
|(4x+2)-10| = |4x-8| = 4\,|x-2|.
Portanto, garantir |(4x+2)-10|<\varepsilon é equivalente a garantir 4\,|x-2|<\varepsilon.

Passo 3

Para satisfazer 4\,|x-2|<\varepsilon, basta exigir
|x-2| < \frac{\varepsilon}{4}.

Passo 4

Logo, dado qualquer \varepsilon>0, escolhemos
\delta = \frac{\varepsilon}{4}.
Assim, sempre que 0<|x-2|<\delta, temos
|(4x+2)-10| = 4\,|x-2| < 4\,\delta = \varepsilon.
Isso prova que a condição da definição de limite é satisfeita.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to2}(4x+2)=10.

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