EXEMPLO 1. Para cada natural , seja . Mostre que a seqüência de funções converge, em ] , à função dada por
Solução
Precisamos mostrar que, para todo x in]-1,1],
lim n +infty fn(x)=f(x)
Passo 1
O enunciado define, para cada natural
no domínio , e afirma que o limite pontual é
O conteúdo principal é a convergência ponto a ponto de potências de (x], usando que sequências geométricas com razão de módulo menor que 1 tendem a zero.
Passo 2
Seja x tal que -1<x<1. Então lvert xrvert<1. Pela teoria de sequências geométricas, temos
limntoinftylvert xrvert^n=0
Como lvert x^nrvert=lvert xrvert^n, segue que
limntoinftyx^n=0
Portanto, para todo x em (-1,1),
limntoinftyfn(x)=0=f(x)
Passo 3
Agora, para x=1, temos fn(1)=1^n=1 para todo n. Logo
limntoinftyfn(1)=1=f(1)
Resposta
Para todo xin(-1,1] vale
limntoinftyfn(x)=f(x),
ou seja, a sequência fn converge pontualmente em (-1,1] para a função