EXEMPLO 1. Para cada natural n >= 1, seja fn(x)=x^n. Mostre que a seqüência de funções fn converge, em ] -1,1], à função f dada por
f(x)=ll 1 & se x=1 0 & se -1<x<1
Solução
Precisamos mostrar que, para todo x in]-1,1],
lim n +infty fn(x)=f(x)

Passo 1

O enunciado define, para cada natural
no domínio , e afirma que o limite pontual é
O conteúdo principal é a convergência ponto a ponto de potências de (x], usando que sequências geométricas com razão de módulo menor que 1 tendem a zero.

Passo 2

Seja x tal que -1<x<1. Então lvert xrvert<1. Pela teoria de sequências geométricas, temos
limntoinftylvert xrvert^n=0
Como lvert x^nrvert=lvert xrvert^n, segue que
limntoinftyx^n=0
Portanto, para todo x em (-1,1),
limntoinftyfn(x)=0=f(x)

Passo 3

Agora, para x=1, temos fn(1)=1^n=1 para todo n. Logo
limntoinftyfn(1)=1=f(1)

Resposta

Para todo xin(-1,1] vale
limntoinftyfn(x)=f(x),
ou seja, a sequência fn converge pontualmente em (-1,1] para a função
f(x)= 0,&-1<x<1, 1,&x=1

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