( 1,5 pts.) Seja f(x, y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
a) Calcule f(1,1) . \quad R:…
b) Determine o domínio de f. R:. \qquad
c) Determine a imagem de f. R: \qquad

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{4 - x^2 - y^2}
e pede:
a) o valor de f(1,1),
b) o domínio de f,
c) a imagem de f.
Vamos usar que a raiz quadrada só está definida quando o radicando é não-negativo, e que a imagem de uma raiz quadrada é sempre não-negativa.

Passo 2

Para calcular f(1,1) basta substituir x=1 e y=1 no radicando:
f(1,1)=\sqrt{4 - 1^2 - 1^2} =\sqrt{4 - 1 - 1} =\sqrt{2}.

Passo 3

O domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que o radicando seja maior ou igual a zero:
4 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 \le 4.
Portanto
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le 4\}.

Passo 4

A imagem de f são todos os valores possíveis de \sqrt{4 - x^2 - y^2} quando (x,y) varia no domínio. O menor valor ocorre na fronteira x^2+y^2=4, onde o radicando é zero, e o maior ocorre em (0,0), onde o radicando é 4. Assim,
\text{Im}(f)=[0,2].

Resposta

a) \sqrt{2}
b) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2\le 4\}
c) [0,2]

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