Exemplo 2.7.9. Calcule
L\left(e^{5 t} t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t)=e^{5t}t^{3}. O conteúdo principal é a definição da transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no domínio s. Vamos precisar também do resultado padrão
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\,,\quad \Re(s)>0.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,t^{3}\,dt
e o resultado conhecido para potências:
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}\,,\quad \Re(s)>0.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de deslocamento: se g(t)=e^{at}h(t), então
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{at}h(t)\}(s)=H(s-a),
onde H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}(s). No nosso caso a=5 e h(t)=t^{3}, logo
\mathcal{L}\{e^{5t}t^{3}\}(s) =\mathcal{L}\{t^{3}\}(s-5) =\frac{6}{(s-5)^{4}},
válido para \Re(s)>5.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{5t}t^{3}\}(s)=\frac{6}{(s-5)^{4}}\,,\quad \Re(s)>5.

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