O conteúdo é a diferenciação sob o sinal de integral, usando as hipóteses que garantem convergência.
Passo 2
Escrevemos explicitamente
F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{s t}f(t)\,dt.
Assumimos que f é de crescimento exponencial (isto é, existem M>0 e \alpha tais que \lvert f(t)\rvert\le M\,e^{-\alpha t} para todo t\ge0) e que a integral converge para s>\alpha.
Passo 3
Observamos que, para cada t\ge0, a derivada parcial em relação a s do integrando existe e é
converge e que a troca é válida em qualquer intervalo compacto em \{s>\alpha\}. Como \lvert f(t)\rvert\le M\,e^{-\alpha t}, escolhemos um intervalo [s_{1},s_{2}]\subset(\alpha,\infty). Então para s\in[s_{1},s_{2}] vale
Como s_{2}-\alpha<0, a função t\mapsto t\,e^{(s_{2}-\alpha)t} é integrável em [0,\infty). Pelo Teorema da Convergência Dominada (ou argumento de convergência uniforme), podemos trocar derivada e integral: