2.7.6 Derivada da Transformada de Laplace
Lema 2.7.7. Se F(s)=L(f(t)) então F^{\prime}(s)=L(t f(t)).

Passo 1

O enunciado pede para provar o seguinte fato sobre a transformada de Laplace: se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{s t}f(t)\,dt
então
F'(s)=\mathcal{L}\{t\,f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{s t}\,t\,f(t)\,dt.
O conteúdo é a diferenciação sob o sinal de integral, usando as hipóteses que garantem convergência.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{s t}f(t)\,dt.
Assumimos que f é de crescimento exponencial (isto é, existem M>0 e \alpha tais que \lvert f(t)\rvert\le M\,e^{-\alpha t} para todo t\ge0) e que a integral converge para s>\alpha.

Passo 3

Observamos que, para cada t\ge0, a derivada parcial em relação a s do integrando existe e é
\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{s t}f(t)\bigr) = t\,e^{s t}f(t).

Passo 4

Para trocar derivação e integral, precisamos justificar que
\int_{0}^{\infty}t\bigl\lvert e^{s t}f(t)\bigr\rvert\,dt
converge e que a troca é válida em qualquer intervalo compacto em \{s>\alpha\}. Como \lvert f(t)\rvert\le M\,e^{-\alpha t}, escolhemos um intervalo [s_{1},s_{2}]\subset(\alpha,\infty). Então para s\in[s_{1},s_{2}] vale
\bigl\lvert t\,e^{s t}f(t)\bigr\rvert \le t\,M\,e^{(s_{2}-\alpha)t}.
Como s_{2}-\alpha<0, a função t\mapsto t\,e^{(s_{2}-\alpha)t} é integrável em [0,\infty). Pelo Teorema da Convergência Dominada (ou argumento de convergência uniforme), podemos trocar derivada e integral:
F'(s) =\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}e^{s t}f(t)\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(e^{s t}f(t)\bigr)\,dt.

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior, obtemos
F'(s) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{s t}f(t)\,dt =\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s).

Resposta

F'(s)=\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s).

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