Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+6 s+11}\right\};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa da expressão racional em s:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+6s+11}\right\}.
Informações dadas: o numerador é s e o denominador é s^{2}+6s+11. O objetivo é encontrar uma função f(t) (para t\ge0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+6s+11}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para reconhecer formas padrão. Faço:
s^{2}+6s+11 = (s^{2}+6s+9)+2 = (s+3)^{2}+2.
Portanto a expressão fica
\frac{s}{s^{2}+6s+11}=\frac{s}{(s+3)^{2}+2}.

Passo 3

Agora ajusto o numerador para relacioná-lo com s+3, que aparece no denominador. Escrevo
s = (s+3)-3.
Substituindo isso na fração e separando em duas parcelas:
\frac{s}{(s+3)^{2}+2} =\frac{s+3}{(s+3)^{2}+2}-\frac{3}{(s+3)^{2}+2}.

Passo 4

Lembrar as transformadas de Laplace padrão (aqui explico o que cada símbolo significa):
  • Para a e b constantes, \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Aqui s é a variável do domínio transformado, a é o decaimento exponencial e b é a frequência da cosseno.
  • Para a e b constantes, \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}. Nesse caso o numerador é b.
Essas fórmulas são as que vamos usar para identificar inversas: quando tivermos uma fração da forma \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} ela corresponde a e^{-a t}\cos(bt); quando tivermos \dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}} ela corresponde a e^{-a t}\sin(bt).

Passo 5

Comparando com as parcelas que obtivemos em \dfrac{s+3}{(s+3)^{2}+2} e \dfrac{3}{(s+3)^{2}+2}, identifico:
  • Na primeira parcela, \dfrac{s+3}{(s+3)^{2}+2} tem a forma de \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}} com a=3 e b^{2}=2, logo b=\sqrt{2}. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+3}{(s+3)^{2}+2}\right\}=e^{-3t}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
  • Na segunda parcela, \dfrac{3}{(s+3)^{2}+2} precisa ser colocada na forma \dfrac{b}{(s+3)^{2}+b^{2}}. Como b=\sqrt{2}, escrevo
\frac{3}{(s+3)^{2}+2}=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{(s+3)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}.
Agora \dfrac{\sqrt{2}}{(s+3)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} é exatamente \mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(\sqrt{2}\,t)\}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{(s+3)^{2}+2}\right\}=\frac{3}{\sqrt{2}}\,e^{-3t}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).

Passo 6

Como a transformada inversa é linear, combino os dois resultados (lembrando do sinal negativo da segunda parcela):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+6s+11}\right\} = e^{-3t}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) - \frac{3}{\sqrt{2}}\,e^{-3t}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Posso fatorar e^{-3t} para uma forma mais compacta:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+6s+11}\right\} = e^{-3t}\!\left(\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) - \frac{3}{\sqrt{2}}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)\right),\quad t\ge0.

Resposta

e^{-3t}\!\left(\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)\right)

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