Exemplo 4: Calcule as transformadas inversas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa da expressão racional em
:
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é encontrar uma função
(para
) tal que
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: completar o quadrado no denominador para reconhecer formas padrão. Faço:
Portanto a expressão fica
Passo 3
Agora ajusto o numerador para relacioná-lo com
, que aparece no denominador. Escrevo
Substituindo isso na fração e separando em duas parcelas:
Passo 4
Lembrar as transformadas de Laplace padrão (aqui explico o que cada símbolo significa):
- Para
e constantes, . Aqui é a variável do domínio transformado, é o decaimento exponencial e é a frequência da cosseno. - Para
e constantes, . Nesse caso o numerador é .
Essas fórmulas são as que vamos usar para identificar inversas: quando tivermos uma fração da forma
ela corresponde a
; quando tivermos
ela corresponde a
.
Passo 5
Comparando com as parcelas que obtivemos em
e
, identifico:
- Na primeira parcela,
tem a forma de com e , logo . Assim
- Na segunda parcela,
precisa ser colocada na forma . Como , escrevo
Agora
é exatamente
. Portanto
Passo 6
Como a transformada inversa é linear, combino os dois resultados (lembrando do sinal negativo da segunda parcela):
Posso fatorar
para uma forma mais compacta: