Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função. A função dada é
Portanto o que se pede é
, a derivada de
em função de
. As informações que temos: o numerador é
e o denominador é
.
Passo 2
Relembre duas fórmulas fundamentais que vou usar (vou explicar o que cada símbolo significa):
- Derivada da exponencial de base
:
onde
é a função exponencial com base
e
é o logaritmo natural de
.
- Regra do quociente: se
com , então
Aqui
e
são as derivadas de
e
respectivamente.
Passo 3
Identifico
e
da regra do quociente aplicáveis ao problema:
Agora vamos calcular
e
usando as fórmulas do Passo 2.
Passo 4
Derivo cada parte:
- Para
, aplicando com , obtemos
- Para
, derivada de uma soma é soma das derivadas e a derivada de é , então
Passo 5
Agora substituo
,
,
e
na regra do quociente:
Fatoro
no numerador para simplificar (isso facilita leitura e cálculo na prova):
Passo 6
Opcional — verificação por outro método (produto + regra da cadeia), para treinar: escrever
. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia chega-se ao mesmo resultado mostrado no Passo 5. Isso confirma que a resposta está consistente.