Determine a derivada das funções abaixo.
y=\frac{7^{x}}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função. A função dada é
y=\frac{7^{x}}{1+x}.
Portanto o que se pede é y', a derivada de y em função de x. As informações que temos: o numerador é 7^{x} e o denominador é 1+x.

Passo 2

Relembre duas fórmulas fundamentais que vou usar (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Derivada da exponencial de base a>0:
\frac{d}{dx}\big(a^{x}\big)=a^{x}\ln a,
onde a^{x} é a função exponencial com base a e \ln a é o logaritmo natural de a.
  • Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
y'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente.

Passo 3

Identifico u(x) e v(x) da regra do quociente aplicáveis ao problema:
u(x)=7^{x},\qquad v(x)=1+x.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) usando as fórmulas do Passo 2.

Passo 4

Derivo cada parte:
  • Para u(x)=7^{x}, aplicando \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a com a=7, obtemos
u'(x)=7^{x}\ln 7.
  • Para v(x)=1+x, derivada de uma soma é soma das derivadas e a derivada de x é 1, então
v'(x)=1.

Passo 5

Agora substituo u, u', v e v' na regra do quociente:
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{\big(7^{x}\ln 7\big)(1+x)-\big(7^{x}\big)(1)}{(1+x)^{2}}.
Fatoro 7^{x} no numerador para simplificar (isso facilita leitura e cálculo na prova):
y'=\frac{7^{x}\big((1+x)\ln 7-1\big)}{(1+x)^{2}}.

Passo 6

Opcional — verificação por outro método (produto + regra da cadeia), para treinar: escrever y=7^{x}(1+x)^{-1}. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia chega-se ao mesmo resultado mostrado no Passo 5. Isso confirma que a resposta está consistente.

Resposta

y'=\frac{7^{x}\big((1+x)\ln 7-1\big)}{(1+x)^{2}}

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