Dado o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
  1. \emptyset \in B
  2. \{\emptyset, 2,\{3\}\} \subset B
  3. \{\emptyset\} \in B
  4. \{\emptyset\} \subset B
  5. \emptyset \subset B
  6. \{\{\emptyset\}\} \subset B
  7. \{2,3\} \subset B
  8. \{2,7\} \subset B
  9. d \in B
  10. \{\{4\}\} \in B

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B=\{\emptyset,\, 2,\,\{2,3\},\,\{4\},\,7,\,d\}.
As perguntas são indicar Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das 10 sentenças abaixo, com justificativa:
  1. \emptyset \in B
  2. \{\emptyset,\,2,\,\{3\}\}\subset B
  3. \{\emptyset\}\in B
  4. \{\emptyset\}\subset B
  5. \emptyset\subset B
  6. \{\{\emptyset\}\}\subset B
  7. \{2,3\}\subset B
  8. \{2,7\}\subset B
  9. d\in B
  10. \{\{4\}\}\in B
Lista explícita dos elementos de B (peguei isso do enunciado): os elementos são \emptyset, o número 2, o conjunto \{2,3\}, o conjunto \{4\}, o número 7 e o símbolo d.

Passo 2

Definições e observações básicas (aula rápida e indispensável para entender as próximas justificativas):
  • A notação x\in A significa que x é um elemento de A. Ex.: se A=\{1,2\} então 1\in A.
  • A notação X\subset A significa que todo elemento de X é também elemento de A. Ex.: \{1\}\subset\{1,2\} porque todo elemento de \{1\} (que é apenas 1) está em \{1,2\}.
  • Importante: um conjunto pode conter outros conjuntos como elementos. Isso gera distinções que confundem muita gente:
    • Ter \{2,3\}\in B NÃO implica que 3\in B. Significa apenas que o conjunto \{2,3\} é um elemento de B; seus elementos (2 e 3) podem ou não estar em B separadamente.
    • A notação \{\emptyset\} é o conjunto cujo único elemento é \emptyset. Isso é diferente de \emptyset.
  • Propriedade especial do conjunto vazio: \emptyset é subconjunto de todo conjunto. Ou seja, para qualquer conjunto A vale \emptyset\subset A. Raciocínio: não existe elemento de \emptyset que possa violar a condição, então a inclusão é verdadeira por vacuidade.

Passo 3

Verificação da sentença 1: \emptyset \in B.
  • Olhando para a lista de elementos de B (peguei do enunciado), \emptyset está explicitamente dentro das chaves.
  • Portanto a sentença é Verdadeira.

Passo 4

Verificação da sentença 2: \{\emptyset,\,2,\,\{3\}\}\subset B.
  • Para ser subconjunto, cada elemento de \{\emptyset,2,\{3\}\} deve pertencer a B.
  • Checagem elemento a elemento:
    • \emptyset\in B? Sim (veja Passo 3).
    • 2\in B? Sim (está listado em B).
    • \{3\}\in B? Não — em B aparecem \{2,3\} e \{4\}, mas NÃO aparece \{3\}.
  • Como \{3\}\notin B, nem todos os elementos do conjunto dado estão em B.
  • Portanto a sentença é Falsa.

Passo 5

Verificação da sentença 3: \{\emptyset\}\in B.
  • \{\emptyset\} é o conjunto cujo único elemento é \emptyset.
  • Em B está \emptyset (o próprio conjunto vazio), mas NÃO está listado \{\emptyset\} como elemento.
  • Ter \emptyset\in B não implica \{\emptyset\}\in B.
  • Portanto a sentença é Falsa.

Passo 6

Verificação da sentença 4: \{\emptyset\}\subset B.
  • Para ser subconjunto, todo elemento de \{\emptyset\} (ou seja, apenas \emptyset) deve pertencer a B.
  • Já sabemos que \emptyset\in B.
  • Logo todo elemento de \{\emptyset\} está em B, então \{\emptyset\}\subset B é Verdadeira.

Passo 7

Verificação da sentença 5: \emptyset\subset B.
  • Pela propriedade geral do conjunto vazio, \emptyset é subconjunto de qualquer conjunto.
  • Logo \emptyset\subset B é Verdadeira.

Passo 8

Verificação da sentença 6: \{\{\emptyset\}\}\subset B.
  • O conjunto à esquerda tem único elemento \{\emptyset\}.
  • Para a inclusão ser verdadeira precisamos de \{\emptyset\}\in B.
  • No Passo 5 concluímos que \{\emptyset\}\notin B.
  • Portanto a sentença é Falsa.

Passo 9

Verificação da sentença 7: \{2,3\}\subset B.
  • Para ser subconjunto, ambos 2 e 3 devem estar em B.
  • 2\in B — sim (aparece explicitamente).
  • 3\in B? Não — o número 3 não aparece como elemento de B. Há um elemento \{2,3\}\in B, mas isso é diferente de 3\in B.
  • Como 3\notin B, a inclusão falha.
  • Portanto a sentença é Falsa.

Passo 10

Verificação da sentença 8: \{2,7\}\subset B.
  • Precisamos verificar 2\in B e 7\in B.
  • Ambos 2 e 7 aparecem explicitamente como elementos de B.
  • Portanto todos os elementos de \{2,7\} estão em B, logo \{2,7\}\subset B é Verdadeira.

Passo 11

Verificação da sentença 9: d\in B.
  • O enunciado lista d como um elemento de B.
  • Portanto a sentença é Verdadeira.

Passo 12

Verificação da sentença 10: \{\{4\}\}\in B.
  • \{\{4\}\} é o conjunto cujo único elemento é o conjunto \{4\}.
  • Em B existe o elemento \{4\} (ou seja, \{4\}\in B), mas isso NÃO significa que \{\{4\}\}\in B.
  • Para \{\{4\}\}\in B seria necessário que o elemento \{\{4\}\} (um conjunto diferente) estivesse listado em B, o que não ocorre.
  • Portanto a sentença é Falsa.

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. V
  5. V
  6. F
  7. F
  8. V
  9. V
  10. F

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