Dado o conjunto
, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
As perguntas são indicar Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das 10 sentenças abaixo, com justificativa:
Lista explícita dos elementos de
(peguei isso do enunciado): os elementos são
, o número
, o conjunto
, o conjunto
, o número
e o símbolo
.
Passo 2
Definições e observações básicas (aula rápida e indispensável para entender as próximas justificativas):
- A notação
significa que é um elemento de . Ex.: se então . - A notação
significa que todo elemento de é também elemento de . Ex.: porque todo elemento de (que é apenas ) está em . - Importante: um conjunto pode conter outros conjuntos como elementos. Isso gera distinções que confundem muita gente:
- Ter
NÃO implica que . Significa apenas que o conjunto é um elemento de ; seus elementos (2 e 3) podem ou não estar em separadamente. - A notação
é o conjunto cujo único elemento é . Isso é diferente de .
- Ter
- Propriedade especial do conjunto vazio:
é subconjunto de todo conjunto. Ou seja, para qualquer conjunto vale . Raciocínio: não existe elemento de que possa violar a condição, então a inclusão é verdadeira por vacuidade.
Passo 3
Verificação da sentença 1:
.
- Olhando para a lista de elementos de
(peguei do enunciado), está explicitamente dentro das chaves. - Portanto a sentença é Verdadeira.
Passo 4
Verificação da sentença 2:
.
- Para ser subconjunto, cada elemento de
deve pertencer a . - Checagem elemento a elemento:
-
? Sim (veja Passo 3). -
? Sim (está listado em ). -
? Não — em aparecem e , mas NÃO aparece .
-
- Como
, nem todos os elementos do conjunto dado estão em . - Portanto a sentença é Falsa.
Passo 5
Verificação da sentença 3:
.
-
é o conjunto cujo único elemento é . - Em
está (o próprio conjunto vazio), mas NÃO está listado como elemento. - Ter
não implica . - Portanto a sentença é Falsa.
Passo 6
Verificação da sentença 4:
.
- Para ser subconjunto, todo elemento de
(ou seja, apenas ) deve pertencer a . - Já sabemos que
. - Logo todo elemento de
está em , então é Verdadeira.
Passo 7
Verificação da sentença 5:
.
- Pela propriedade geral do conjunto vazio,
é subconjunto de qualquer conjunto. - Logo
é Verdadeira.
Passo 8
Verificação da sentença 6:
.
- O conjunto à esquerda tem único elemento
. - Para a inclusão ser verdadeira precisamos de
. - No Passo 5 concluímos que
. - Portanto a sentença é Falsa.
Passo 9
Verificação da sentença 7:
.
- Para ser subconjunto, ambos
e devem estar em . -
— sim (aparece explicitamente). -
? Não — o número não aparece como elemento de . Há um elemento , mas isso é diferente de . - Como
, a inclusão falha. - Portanto a sentença é Falsa.
Passo 10
Verificação da sentença 8:
.
- Precisamos verificar
e . - Ambos
e aparecem explicitamente como elementos de . - Portanto todos os elementos de
estão em , logo é Verdadeira.
Passo 11
Verificação da sentença 9:
.
- O enunciado lista
como um elemento de . - Portanto a sentença é Verdadeira.
Passo 12
Verificação da sentença 10:
.
-
é o conjunto cujo único elemento é o conjunto . - Em
existe o elemento (ou seja, ), mas isso NÃO significa que . - Para
seria necessário que o elemento (um conjunto diferente) estivesse listado em , o que não ocorre. - Portanto a sentença é Falsa.
Resposta
- V
- F
- F
- V
- V
- F
- F
- V
- V
- F