Exemplo 1.4.2: Calcule \vec{u} \cdot \vec{v}, onde \vec{u}=\left(\frac{1}{2}, 2,-1\right) e \vec{v}=(-\sqrt{3}, 2,7).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar entre os vetores \vec{u}=\bigl(\tfrac{1}{2},2,-1\bigr) e \vec{v}=(-\sqrt{3},2,7).
O conteúdo aqui é o produto escalar em \mathbb{R}^3, que soma os produtos das componentes correspondentes.

Passo 2

Pela definição, para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) vale
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.

Passo 3

Substituindo u_1=\tfrac12, u_2=2, u_3=-1 e v_1=-\sqrt3, v_2=2, v_3=7, temos
\vec{u}\cdot\vec{v} = \tfrac12\cdot(-\sqrt3) + 2\cdot2 + (-1)\cdot7 = -\tfrac{\sqrt3}{2} + 4 - 7 = -3 - \tfrac{\sqrt3}{2}.

Resposta

-3 - \frac{\sqrt3}{2}

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