Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, tem-se:
Passo 1
O enunciado afirma a comutatividade do produto escalar: para quaisquer vetores
, vale
Para provar isso, vamos recorrer à definição do produto escalar e à propriedade de comutatividade da multiplicação em
.
Passo 2
Escrevemos os vetores em coordenadas: seja
Pela definição, o produto escalar é
Passo 3
Como a multiplicação de números reais é comutativa, para cada
temos
Somando essas igualdades de
até
, obtemos
Passo 4
Pela definição novamente,
Logo,
como queríamos demonstrar.