Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, tem-se:
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a propriedade de bilinearidade do produto escalar em
, isto é, que para quaisquer vetores
e qualquer escalar
vale
Vamos usar a definição componente a componente do produto escalar em
:
Passo 2
Prova de
.
Pela definição,
Pela definição,
Multiplicando por
em cada componente da soma,
Mas
é exatamente a definição de
. Logo,
Passo 3
Prova de
.
Começamos de
Começamos de
Pela comutatividade na multiplicação real,
. Assim,
Isso fecha a prova da segunda igualdade.