Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se:
lambda(vec{u} \cdot vec{v})=(lambda vec{u}) \cdot vec{v}=vec{u} \cdot(lambda vec{v})

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a propriedade de bilinearidade do produto escalar em \mathbb{R}^n, isto é, que para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R} vale
\lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) \;=\;(\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v}\;=\;\vec{u}\cdot(\lambda\,\vec{v}).
Vamos usar a definição componente a componente do produto escalar em \mathbb{R}^n:
\vec{u}\cdot\vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i\,v_i.

Passo 2

Prova de \displaystyle \lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) = (\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v}.
Pela definição,
\vec{u}\cdot\vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i\,v_i.
Multiplicando por \lambda em cada componente da soma,
\lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) = \lambda \sum_{i=1}^{n} u_i\,v_i = \sum_{i=1}^{n} (\lambda\,u_i)\,v_i.
Mas \sum_{i=1}^{n} (\lambda\,u_i)\,v_i é exatamente a definição de (\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v}. Logo,
\lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) = (\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v}.

Passo 3

Prova de \displaystyle (\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot(\lambda\,\vec{v}).
Começamos de
(\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v} = \sum_{i=1}^{n} (\lambda\,u_i)\,v_i.
Pela comutatividade na multiplicação real, (\lambda\,u_i)\,v_i = u_i\,(\lambda\,v_i). Assim,
\sum_{i=1}^{n} (\lambda\,u_i)\,v_i = \sum_{i=1}^{n} u_i\,(\lambda\,v_i) = \vec{u}\cdot(\lambda\,\vec{v}).
Isso fecha a prova da segunda igualdade.

Resposta

\lambda\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) \;=\;(\lambda\,\vec{u})\cdot\vec{v}\;=\;\vec{u}\cdot(\lambda\,\vec{v}).

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