EXEMPLO 3.1 CÁLCULO DA VELOCIDADE INSTANTÂNEA MÉD
Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do sistema de coordenadas e a superficie do planeta é o plano x y. O veículo, que será representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo de acordo com a seguinte relação:
l x=2,0 m-(0,25 m / s^2) t^2 y=(1,0 m / s) t+(0,025 m / s^3) t^3
(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no instante t=2,0 s. (b) Calcule o vetor deslocamento eo vetor velocidade média no intervalo entre t=0,0 s e t=2,0 s. (c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do vetor v. Expresse a velocidade instantânea v em t=2,0 s, usando componentes e também em termos de módulo e direção.

Passo 1

O enunciado nos dá o movimento de um robô em coordenadas paramétricas no plano
O conteúdo é cinemática vetorial: (a) posição e distância ao tempo , (c) derivar o vetor velocidade instantânea e avaliar em , dando componentes, módulo e direção.

Passo 2

Calcular x(2) e y(2).
x(2)=2,0-;0,25,(2)^2=2,0-1,0=1,0 m,
y(2)=1,0cdot2+0,025,(2)^3=2,0+0,025cdot8=2,0+0,20=2,20 m

Passo 3

Calcular a distância r(2) ao módulo de aterrissagem (origem):
r(2)=raizl[x(2)r]^2+l[y(2)r]^2 =raiz(1,0)^2+(2,20)^2 =raiz1,00+4,84 =raiz5,84approx2,42 m

Passo 4

No instante inicial t=0 temos x(0)=2,0 m e y(0)=0.
O vetor deslocamento de 0 a 2,0 s é
De<a vec r=l(x(2)-x(0),,y(2)-y(0)r) =l(1,0-2,0,;2,20-0r) =(-1,0,;2,20) m
A velocidade média é
vec vrm m=De<a vec rDe<a t =(-1,0,;2,20)2,0 =(-0,50,;1,10) m/s

Passo 5

A expressão geral da velocidade instantânea é a derivada de vec r(t)=(x(t),y(t)):
vec v(t)=dvec rdt =l(dot x(t),,dot y(t)r)
Calculando
dot x(t)=ddtl[2,0-0,25,t^2r]=-0,50,t,
dot y(t)=ddtl[1,0,t+0,025,t^3r] =1,0+0,075,t^2

Passo 6

Avaliar em t=2,0 s:
vx(2)=-0,50cdot2=-1,0 m/s, vy(2)=1,0+0,075cdot(2)^2=1,0+0,075cdot4=1,30 m/s
O módulo da velocidade é
l|vec v(2)r| =raiz(-1,0)^2+(1,30)^2 =raiz1,00+1,69 =raiz2,69approx1,64 m/s
A direção, medida a partir do eixo +x, satisfaz
theta=arctan!l(tfracvyvxr) =arctan!l(tfrac1,30-1,0r)approx-52,4^circ
Como vx<0 e vy>0, o vetor está no II quadrante, isto é theta=180^circ-52,4^circ=127,6^circ.

Resposta

(a) l(x(2),y(2)r)=(1,0 m,,2,20 m), distância r=2,42 m
(b) De<avec r=(-1,0,;2,20) m,\quad vec vrm m=(-0,50,;1,10) m/s
(c) vec v(t)=(-0,50,t,;1,0+0,075,t^2),
em t=2: vec v(2)=(-1,0,;1,30) m/s, |vec v|=1,64 m/s, theta=127,6^circ

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