3-Um oscilador harmónico simples é formado por um bloco de 0,80 kg preso a uma mola de constante elástica k=200 N / m. O bloco desliza sem atrito em uma superficie horizontal em torno da posição de equilíbrio x=0 com uma energia mecânica total de 4,0 J. Calcule:
a) (1.0 pr.) a amplitude das oscilações;
b) (2.0 pts.) quantas oscilações o bloco completa em 10 s ;
c) (2.0 pts.) o módulo da velocidade máxima atingida pelo bloco;
d) (1.0 pt.) a velocidade inicial do bloco, sabendo que a sua posição inicial é x 0=0,2 m
e) (1.0 pt.) o ángulo de fase, considerando que em t = 0 o bloco move-se para a esquerda;
f) (2.0 pts.) a posição do bloco no instante t=2,0 s.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador massa-mola sem atrito com massa m=0,80 kg, constante elástica k=200 N/m e energia mecânica total E=4,0 J. Precisamos usar as fórmulas do movimento harmónico simples:
– Energia em função da amplitude A:
E=tfrac12,kA^2
– Frequência angular omega=raiztfrackm e período T=tfrac2piomega.
– Velocidade máxima vmax=omega A.
– Conservação de energia para achar a velocidade em posição x0:
E=tfrac12,m,v^2+tfrac12,k,x0^2
– Equação do movimento, escolhendo x(t)=Acos(omega t+varphi).

Passo 2

Encontrar a amplitude A usando
E=tfrac12,kA^2 Longrightarrow A=raiz2Ek =raiz2cdot4,0200 =raiz0,04 =0,20 m

Passo 3

Calcular o número de oscilações em 10 s. Primeiro a frequência angular:
omega=raizkm =raiz2000,80 =raiz250 approx15,81 rad/s
O período é
T=2piomega approx2pi15,81 approx0,398 s,
logo o número de oscilações em 10 s é
N=10Tapprox100,398approx25,1
ou seja, completas 25 oscilações.

Passo 4

A velocidade máxima vale
vmax=omega,A approx15,81times0,20 approx3,16 m/s

Passo 5

Para a velocidade inicial em x0=0,20 m, usamos
E=tfrac12,m,v0^2+tfrac12,k,x0^2 Longrightarrow v0 =pmraiz2E-kx0^2m
Como kx0^2=200cdot(0,20)^2=8,0 J e 2E=8,0 J, sobra v0=0.

Passo 6

Para a fase varphi em x(t)=Acos(omega t+varphi) usamos x(0)=x0=A, o que dá cosvarphi=1 e portanto
varphi=0 (bmod;2pi)
Verificamos que logo após t=0 a aceleração inicial a(0)=-tfrackmx0 é negativa, de modo que o bloco “parte” para a esquerda, consistente com varphi=0.

Passo 7

A posição no instante t=2,0 s é
x(2,0)=Acosl(omegacdot2,0+varphir) =0,20cosl(15,81times2,0+0r)
Calculando 15,81times2,0approx31,62 rad e reduzindo módulo 2pi obtemos ângulo approx0,207 rad, cujo cosseno é approx0,979. Logo
x(2,0)approx0,20times0,979 approx0,196 m

Resposta

a) A=0,20 m
b) Napprox25 oscilações em 10 s
c) vmaxapprox3,16 m/s
d) v0=0 m/s
e) varphi=0 rad
f) x(2,0 s)approx0,196 m

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