Dê um exemplo de um campo vetorial não-nulo tal que \iint_{S} F . d A=0, onde S é o triangulo de vertices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede um campo vetorial F\neq0 tal que o fluxo
\iint_{S}F\cdot dA
sobre o triângulo S\subset\{x+y+z=1\} seja zero. Para isso, basta escolher F de modo que seja sempre tangente ao plano de S, isto é, F\cdot n=0, onde n é um vetor normal ao plano.

Passo 2

A equação do plano que contém S é
x+y+z=1,
cujo vetor normal (não necessariamente unitário) é
n = (1,1,1).
O versor normal é
\hat n = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,1,1).

Passo 3

Procuramos um campo constante não nulo cuja soma das componentes seja zero (para ficar ortogonal a n). Por exemplo, tome
F(x,y,z) = (1,\,-1,\,0).
Então
F\cdot n = 1 + (-1) + 0 = 0
e também F\cdot \hat n=0 em todo ponto de S.

Passo 4

O fluxo fica
\iint_{S}F\cdot dA =\iint_{S}F\cdot \hat n\,dS =\iint_{S}0\,dS =0.

Resposta

Um exemplo é
F(x,y,z) = (1,\,-1,\,0),
pois é não nulo e satisfaz \iint_{S}F\cdot dA=0.

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