(a) Para quais valores de a a matriz A possui inversa.
(b) Resolva o sistema A X=B sendo B=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4\end{array}\right]^{T}, usando a matriz inversa A^{-1} obtida n (a).
Pede-se:
(a) para quais valores de a a matriz A possui inversa;
(b) resolver o sistema A X=B usando a matriz inversa A^{-1} obtida em (a).]
Passo 2
Regra principal: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A) pelo desenvolvimento na primeira linha (ou por regras de expansão por cofatores). Para a matriz A temos
Conclusão: \det(A)=-a, logo \det(A)\neq0 exatamente quando a\neq0. Portanto A é inversível se, e somente se, a\neq0.
Observação rápida (didática): o determinante mede, geometricamente, a “escala” de volume associado à transformação linear. Se for zero, a transformação colapsa dimensões e não é invertível.]
Passo 3
Método para obter A^{-1}: vou usar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I]. Esse método é prático em prova: aplica-se operações elementares em linhas até transformar A na identidade; as mesmas operações aplicadas ao bloco I viram A^{-1}.
Agora a parte esquerda já é a identidade, e as operações necessárias para zerar acima da coluna 3 não são necessárias porque já há zeros em (1,3) e (2,3). Assim a matriz aumentada final é
Breve explicação: cada entrada dessa matriz saiu do conjunto de operações elementares feitas sobre as linhas; para lembrar rápido, as colunas de A^{-1} são as imagens das colunas da identidade pelas mesmas operações.
Passo 6
Agora resolvo A X=B usando X=A^{-1}B. Faço o produto A^{-1}B: