(2,5 pts) Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & a \end{array}\right]
(a) Para quais valores de a a matriz A possui inversa.
(b) Resolva o sistema A X=B sendo B=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 4\end{array}\right]^{T}, usando a matriz inversa A^{-1} obtida n (a).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & a \end{array}\right]
e o vetor
B=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{array}\right].
Pede-se:
(a) para quais valores de a a matriz A possui inversa;
(b) resolver o sistema A X=B usando a matriz inversa A^{-1} obtida em (a).]

Passo 2

Regra principal: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A) pelo desenvolvimento na primeira linha (ou por regras de expansão por cofatores). Para a matriz A temos
\det(A)=1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]2 & a\end{array}\right) -1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{array}\right) +0\cdot(\cdots).
Agora calculo os determinantes 2×2:
\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 0\\[4pt]2 & a\end{array}\right)=0\cdot a-0\cdot2=0,
\det\!\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]1 & a\end{array}\right)=1\cdot a-0\cdot1=a.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 0 - 1\cdot a = -a.
Conclusão: \det(A)=-a, logo \det(A)\neq0 exatamente quando a\neq0. Portanto A é inversível se, e somente se, a\neq0.
Observação rápida (didática): o determinante mede, geometricamente, a “escala” de volume associado à transformação linear. Se for zero, a transformação colapsa dimensões e não é invertível.]

Passo 3

Método para obter A^{-1}: vou usar eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada [A\mid I]. Esse método é prático em prova: aplica-se operações elementares em linhas até transformar A na identidade; as mesmas operações aplicadas ao bloco I viram A^{-1}.
Começo com a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & a & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Quero zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=1. Faço as operações \text{R}_2:=\text{R}_2-\text{R}_1 e \text{R}_3:=\text{R}_3-\text{R}_1:
\text{R}_2:=\text{R}_2-\text{R}_1\\ \Rightarrow\\ [\,1\\\ 0\\\ 0\mid -1\\\ 1\\\ 0\,] \quad\text{(antes de simplificar)},
\text{R}_3:=\text{R}_3-\text{R}_1\\ \Rightarrow\\ [\,1\\\ 1\\ a\mid -1\\\ 0\\\ 1\,] \\ \text{(antes de simplificar)}.
Mostrando a matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & a & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Continuo eliminando: quero zerar a entrada em (3,2). Como \text{R}_2 tem -1 em coluna 2, faço \text{R}_3:=\text{R}_3+\text{R}_2:
\text{R}_3:=\text{R}_3+\text{R}_2 \\ \Rightarrow\\ [\,0\\\ 0\\ a \mid -2\\\ 1\\\ 1\,].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & a & -2 & 1 & 1 \end{array}\right].
Agora normalizo a segunda linha para ter pivô +1 na posição (2,2): \text{R}_2:= -\text{R}_2:
\text{R}_2:=[\,0\\\ 1\\\ 0 \mid 1\\\ -1\\\ 0\,].
Use essa linha para zerar a entrada 1 em (1,2): \text{R}_1:=\text{R}_1-\text{R}_2, resultando
\text{R}_1:=[\,1\\\ 0\\\ 0 \mid 0\\\ 1\\\ 0\,].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & a & -2 & 1 & 1 \end{array}\right].
Finalmente, como a\neq0, normalizo a terceira linha dividindo por a: \text{R}_3:=\dfrac{1}{a}\text{R}_3:
\text{R}_3=[\,0\\\ 0\\\ 1 \mid -\tfrac{2}{a}\\ \tfrac{1}{a}\\ \tfrac{1}{a}\,].
Agora a parte esquerda já é a identidade, e as operações necessárias para zerar acima da coluna 3 não são necessárias porque já há zeros em (1,3) e (2,3). Assim a matriz aumentada final é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{a} & \tfrac{1}{a} & \tfrac{1}{a} \end{array}\right].

Passo 5

Lendo o bloco da direita, obtemos a inversa
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ -\dfrac{2}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} \end{array}\right], \qquad\text{válida para }a\neq0.á
Breve explicação: cada entrada dessa matriz saiu do conjunto de operações elementares feitas sobre as linhas; para lembrar rápido, as colunas de A^{-1} são as imagens das colunas da identidade pelas mesmas operações.

Passo 6

Agora resolvo A X=B usando X=A^{-1}B. Faço o produto A^{-1}B:
X=A^{-1}B= \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0 \\\\ -\dfrac{2}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{array}\right].
Calculando componente a componente:
x_1=0\cdot 2 + 1\cdot 3 + 0\cdot 4 = 3,
x_2=1\cdot 2 + (-1)\cdot 3 + 0\cdot 4 = 2-3 = -1,
x_3=-\dfrac{2}{a}\cdot 2 + \dfrac{1}{a}\cdot 3 + \dfrac{1}{a}\cdot 4 =\dfrac{-4+3+4}{a}=\dfrac{3}{a}.
Portanto a solução é
X=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-1\\[4pt]\dfrac{3}{a}\end{array}\right],
válida para a\neq0.]

Resposta

(a) A é inversível para a\neq0.
(b) X=\left[\begin{array}{c}3\\[4pt]-1\\[4pt]\dfrac{3}{a}\end{array}\right],\quad(a\neq0).]

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