Exemplo 2: Um cilindro longo e sólido (R=0,8 m) com dobradiças no ponto A é usado como uma comporta automática. Quando o nível da água atinge 5 m, a comporta se abre, girando na dobradiça no ponto A. Determine a força hidrostática que age sobre o cilindro e sua linha de ação quando a comporta se abre.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente:
Um cilindro longo e sólido com raio R=0,8\\ \text{m}.
Há uma dobradiça no ponto A (a comporta gira em torno de A).
Quando o nível da água atinge 5\\ \text{m}, a comporta se abre (ou seja, pede-se a força hidrostática que age sobre o cilindro e a sua linha de ação naquele instante).
O que o problema pede:
Determinar a força hidrostática resultante que atua sobre o cilindro quando o nível da água é 5\\ \text{m}.
Determinar a linha de ação (posição do centro de pressão) dessa força quando a comporta abre.
Informações relevantes que foram fornecidas: R=0,8\\ \text{m} e nível da água =5\\ \text{m}.
Informações que faltam e são necessárias para um cálculo numérico definitivo (isto é, sem uma figura ou dados adicionais não é possível dar um valor numérico):
A posição geométrica do cilindro em relação ao nível da água: onde está o centro do cilindro em relação ao nível livre? A dobradiça A está localizada no topo do cilindro, no seu eixo, numa extremidade, ou em outro ponto? (essa posição define as profundidades de cada ponto da superfície.)
A orientação do cilindro (eixo horizontal ou vertical) e qual face/parte está exposta ao fluido.
O comprimento (ou assumir “por metro de comprimento”) para obter força total em N; sem comprimento só se consegue a força por unidade de comprimento.
Se a água age sobre a superfície curva externa do cilindro apenas de um lado (comporta típica) ou se o cilindro está completamente submerso etc.
Sem a figura ou estas informações, não há como calcular numericamente de forma correta e inequívoca a força resultante e sua linha de ação.
Passo 2
O que eu faria (e te ensino passo a passo) assim que a posição geométrica estiver clara — aqui explico a teoria e as fórmulas que se usam em problemas desse tipo. Primeiro as duas ideias fundamentais da estática de fluidos:
Pressão hidrostática em uma profundidade \,h\, abaixo da superfície livre:
p(h)=\rho g h,
onde \rho é a massa volúmica do fluido (para água doce típica \rho=1000\\ \text{kg/m}^3) e g a gravidade (g\approx9{,}81\\ \text{m/s}^2). Aqui h é a distância vertical do ponto considerado até a superfície livre.
Força resultante sobre uma superfície qualquer:
A força resultante \vec{F} sobre uma superfície imersa é a integral da pressão sobre a área:
\vec{F}=\iint_{S} p\,\hat{n}\,dA,
onde \hat{n} é a normal exterior à superfície e dA é o elemento de área. Na prática separamos em componentes horizontal e vertical e usamos projeções.
Explicando de forma prática (a receita que funciona na prova):
Componente horizontal \,F_H\, da força sobre uma superfície curva: é igual à força hidrostática sobre a projeção vertical dessa superfície. Em fórmulas,
F_H=\rho g\,A_v\,\overline{h},
onde A_v é a área da projeção vertical da superfície imersa e \overline{h} é a profundidade do centróide dessa projeção (distância vertical do centróide até a superfície livre). Para uma distribuição linear de pressão a expressão surge da integração e é exatamente a força resultante sobre a área projetada verticalmente.
Localização vertical (profundidade) da linha de ação da componente horizontal: é dada pela profundidade do centro de pressão da projeção vertical. Para uma área plana vertical a profundidade do centro de pressão \,h_{cp}\, é
onde I_{x} é o momento de inércia da área projetada em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu centróide. (Vou mostrar como calcular I_x para retângulos abaixo.)
Componente vertical \,F_V\, da força sobre uma superfície curva: é igual à força hidrostática sobre a projeção horizontal da superfície, que pode ser interpretada como o peso do fluido sobre a superfície curva (ou, de maneira equivalente, a integral das componentes verticais dos esforços de pressão). Em muitas aplicações:
F_V=\rho g\,A_h\,\overline{z},
onde A_h é a área da projeção da superfície sobre um plano horizontal e \overline{z} é a profundidade do centróide dessa projeção; alternativamente, pode-se pensar em F_V como o peso do fluido acima da superfície curva até a superfície livre (isto é, \rho g vezes o volume de fluido acima da superfície, por unidade de comprimento se o corpo for longo).
Depois de encontrar F_H e F_V, a força resultante e sua direção são
onde \theta é o ângulo que \vec{F} faz com a horizontal.
Para encontrar a linha de ação (ponto de aplicação) no espaço: calcula-se momentos (por exemplo, em torno da dobradiça A) das duas componentes e determina-se a posição do ponto de aplicação tal que o momento da força resultante sobre A seja o mesmo. Em símbolos, se a resultante atua a uma distância x do eixo, então
M_A = F_H\cdot y_H + F_V\cdot x_V = F\cdot d_A,
onde y_H, x_V são braços das componentes e d_A é o braço da resultante — a equação concreta depende da geometria (posicionamento de A, direções das componentes etc.). Em resumo: usa-se conservação de momentos para achar a posição.
Passo 3
Como aplicar as fórmulas ao cilindro — expressões concretas (aqui eu mostro os passos algébricos que você terá de executar quando souber a profundidade/posição). Vou assumir que o cilindro tem comprimento L (se o problema disser “cilindro longo” costuma-se usar força por unidade de comprimento, isto é L=1\\ \text{m}). As expressões abaixo são para a força por unidade de comprimento se L=1\\ \text{m}.
Projeção vertical do cilindro: se o cilindro tem eixo horizontal a projeção vertical do seu casco curvo é um retângulo de altura 2R e largura L. Logo
A_v = 2R\cdot L.
O centróide dessa projeção está na profundidade \overline{h} igual à profundidade do centro do cilindro (se a projeção vertical é simétrica em torno do centro do cilindro). Assim, quando souber \overline{h} (distância vertical do centro do cilindro até a superfície livre) você terá \overline{h}.
Componente horizontal:
F_H=\rho g A_v\,\overline{h}=\rho g (2R L)\,\overline{h}.
Se usar por unidade de comprimento, coloque L=1.
Momento de inércia da projeção vertical (retângulo de altura 2R e largura L) em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu centróide:
Esse h_{cp} dá a profundidade a partir da superfície livre onde a componente horizontal pode ser considerada aplicada (sobre a projeção vertical). Em seguida converte-se essa posição para coordenadas sobre a superfície curva, conforme necessário.
Componente vertical F_V: precisa-se da área de projeção horizontal e da sua profundidade do centróide, ou então calcular o volume de fluido “acima” do elemento curvo (por unidade de comprimento) para então multiplicar por \rho g. Para um cilindro com eixo horizontal, a projeção horizontal do casco curvo (por unidade de comprimento) tem largura igual ao diâmetro aparente no plano horizontal — na prática, é mais simples calcular F_V integrando a componente vertical p\sin\varphi sobre a superfície ou usar a interpretação “peso do fluido sobre a superfície”. O procedimento geral é:
Determinar a área de projeção horizontal A_h e a profundidade do seu centróide \overline{z}.
Calcular
F_V=\rho g\,A_h\,\overline{z},
ou, alternativamente, usar o volume do fluido entre a superfície curva e a superfície livre (por unidade de comprimento) e multiplicar \rho g.
Obs.: a forma concreta de A_h e \overline{z} depende de quanto do cilindro está submerso e da posição relativa ao nível livre — por isso a figura/posicionamento é essencial.
Linha de ação (posição): escolher um eixo de referência (por exemplo a dobradiça A), calcular os momentos das componentes F_H e F_V em torno desse eixo (usando os braços geométricos calculados a partir da posição do centróide e da forma do cilindro). Em seguida igualar o momento da resultante F atuando a uma distância d do eixo:
M_A = F\cdot d \quad\Rightarrow\quad d=\frac{M_A}{F}.
Novamente, os braços exatos dependem da posição da dobradiça A e da geometria relativa entre A, o centro do cilindro e a superfície livre.
Passo 4
Exemplo ilustrativo numérico (modo como eu calcularia se a posição do cilindro fosse, por exemplo, com o centro do cilindro a \overline{h}=5{,}0\\ \text{m} abaixo da superfície livre e tomando L=1\\ \text{m}; isto é só um exemplo de aplicação das fórmulas acima — não é uma resposta do seu enunciado, porque não sabemos se o centro está realmente a 5\\ \text{m} da superfície):
Dados para o exemplo: \rho=1000\\ \text{kg/m}^3,\\ g=9{,}81\\ \text{m/s}^2,\\ R=0{,}8\\ \text{m},\\ L=1\\ \text{m},\\ \overline{h}=5{,}0\\ \text{m}.
Então A_v=2R L=2\cdot0{,}8\cdot1=1{,}6\\ \text{m}^2.
F_H=\rho g A_v \overline{h}=1000\cdot9{,}81\cdot1{,}6\cdot5{,}0
F_H=1000\cdot9{,}81\cdot8{,}0\approx78\,480\\ \text{N (por metro de comprimento).}
(continua-se calculando F_V da maneira adequada à geometria; no exemplo isolado seria preciso integrar a componente vertical ou computar a área de projeção horizontal — o que depende de quanto do cilindro está submerso em relação à superfície livre.)
Este exemplo mostra o padrão de cálculo: com a profundidade do centro \overline{h} e sabendo se o cilindro está totalmente submerso ou parcialmente, calcula-se F_H, h_{cp}, F_V e então a resultante e sua linha de ação por momento.
Passo 5
Para eu calcular os números finais (valor da força em N e posição da linha de ação) sem ambiguidade, preciso somente de uma das seguintes informações (não vamos perder tempo com outras irrelevâncias):
A figura da situação que mostre onde está a dobradiça A, onde está o centro do cilindro em relação à superfície livre, e se o cilindro está totalmente ou parcialmente submerso; ou
Alternativamente, informe explicitamente:
A posição vertical do centro do cilindro em relação à superfície livre (por exemplo: “centro do cilindro está a h_c metros abaixo da superfície”);
A orientação do eixo do cilindro e se devemos dar força por metro de comprimento (ou o comprimento L do cilindro);
A posição da dobradiça A (por exemplo: no topo do cilindro, a uma certa distância do centro).
Se preferir, cole a figura do enunciado (ou descreva em poucas palavras) e eu executo o cálculo numérico completo e te dou a força resultante e a linha de ação com todos os detalhes e números arredondados.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a força hidrostática e a posição da linha de ação porque faltam informações geométricas essenciais (posição do cilindro em relação ao nível de água e a posição exata da dobradiça A, ou uma figura).