Em cada um dos casos, determine a fórmula da função inversa e calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a fórmula da função inversa de
. - Calcular
e .
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi dada restrição adicional de domínio, então assumimos o domínio padrão
(todos os reais).
Passo 2
O que é uma função inversa, em palavras simples:
- Se
, a função inversa “desfaz” : aplicando e em seguida volta-se ao valor inicial. - Em símbolos isso significa que, quando bem definida, vale
para todo do domínio de e para todo do domínio de . - Para existir inversa,
precisa ser um a um (injeção). Uma reta da forma com é injetora porque valores diferentes de dão valores diferentes de . Aqui o coeficiente angular é , então tem inversa.
Passo 3
Como encontrar a inversa passo a passo (método padrão):
- Começa-se com a equação que relaciona
e : - Resolve-se essa equação para
em função de :
- Troca-se o papel das letras (substitui-se
por ) para escrever a fórmula da inversa como função de . Assim obtemos:
Passo 4
Interpretação do resultado e domínio/contradomínio:
- A fórmula
devolve o valor de original a partir do valor . - Ambas as funções
e têm domínio e imagem (são sobrejetoras/rescalantes de ) porque funções lineares com coeficiente não nulo atingem todos os reais.
Passo 5
Calcular
:
- Primeiro calcula-se
: - Agora aplica-se
a esse valor:
- Conclusão:
para todo .
Passo 6
Calcular
:
- Primeiro escreve-se
. - Agora aplica-se
a esse valor:
- Conclusão:
para todo .
Passo 7
Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo concreto):
- Se
, então . - Aplicando a inversa:
. - Isso confirma que a inversa realmente desfaz
.