Em cada um dos casos, determine a fórmula da função inversa e calcule \left(f^{-1} \circ f\right)(x) e \left(f \circ f^{-1}\right)(x).
y=3 x+4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a fórmula da função inversa de y=3x+4.
  • Calcular \left(f^{-1}\circ f\right)(x) e \left(f\circ f^{-1}\right)(x).
Informações dadas:
  • A função é y=3x+4.
  • Não foi dada restrição adicional de domínio, então assumimos o domínio padrão \mathbb{R} (todos os reais).

Passo 2

O que é uma função inversa, em palavras simples:
  • Se y=f(x), a função inversa f^{-1} “desfaz” f: aplicando f e em seguida f^{-1} volta-se ao valor inicial.
  • Em símbolos isso significa que, quando bem definida, vale \displaystyle f^{-1}(f(x))=x para todo x do domínio de f e \displaystyle f(f^{-1}(x))=x para todo x do domínio de f^{-1}.
  • Para existir inversa, f precisa ser um a um (injeção). Uma reta da forma \,y=mx+b com m\neq0 é injetora porque valores diferentes de x dão valores diferentes de y. Aqui o coeficiente angular é m=3\neq0, então f tem inversa.

Passo 3

Como encontrar a inversa passo a passo (método padrão):
  1. Começa-se com a equação que relaciona x e y: y=3x+4.
  2. Resolve-se essa equação para x em função de y:
y-4=3x
x=\frac{y-4}{3}.
  1. Troca-se o papel das letras (substitui-se y por x) para escrever a fórmula da inversa como função de x. Assim obtemos:
f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}.

Passo 4

Interpretação do resultado e domínio/contradomínio:
  • A fórmula \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3} devolve o valor de x original a partir do valor f(x).
  • Ambas as funções f e f^{-1} têm domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R} (são sobrejetoras/rescalantes de \mathbb{R}) porque funções lineares com coeficiente não nulo atingem todos os reais.

Passo 5

Calcular \left(f^{-1}\circ f\right)(x):
  • Primeiro calcula-se f(x): f(x)=3x+4.
  • Agora aplica-se f^{-1} a esse valor:
(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}\big(f(x)\big)=f^{-1}(3x+4)=\frac{(3x+4)-4}{3}=\frac{3x}{3}=x.
  • Conclusão: \displaystyle (f^{-1}\circ f)(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Calcular \left(f\circ f^{-1}\right)(x):
  • Primeiro escreve-se f^{-1}(x)=\dfrac{x-4}{3}.
  • Agora aplica-se f a esse valor:
(f\circ f^{-1})(x)=f\big(f^{-1}(x)\big)=f\!\left(\frac{x-4}{3}\right)=3\cdot\frac{x-4}{3}+4=(x-4)+4=x.
  • Conclusão: \displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 7

Pequena checagem numérica para ganhar confiança (exemplo concreto):
  • Se x=2, então f(2)=3\cdot2+4=10.
  • Aplicando a inversa: f^{-1}(10)=\dfrac{10-4}{3}=2.
  • Isso confirma que a inversa realmente desfaz f.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x-4}{3}
(f^{-1}\circ f)(x)=x
(f\circ f^{-1})(x)=x

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