Em cada um dos casos, determine a fórmula da função inversa e calcule \left(f^{-1} \circ f\right)(x) e \left(f \circ f^{-1}\right)(x).
y=x^{2}-4, x \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}-4 com a restrição x\geq 0. Pede-se:
  • Encontrar a fórmula de f^{-1} (a função inversa).
  • Calcular \left(f^{-1}\circ f\right)(x).
  • Calcular \left(f\circ f^{-1}\right)(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão funcional é y=x^{2}-4.
  • O domínio de f é \{x\mid x\geq 0\}.
  • É preciso levar em conta a restrição x\geq 0 ao resolver para a inversa e ao simplificar composições.

Passo 2

Por que existe inversa? Explicação didática: uma função tem inversa quando é injetora (cada valor de saída vem de no máximo um x). Aqui, a função original é a parábola x^{2}-4 mas com a restrição x\geq 0 — isso corta a metade direita da parábola, que é estritamente crescente. Um jeito simples de ver o alcance (imagem) é notar que x^{2}\geq 0 para todo x, então
y=x^{2}-4\geq -4.
No ponto x=0 a função atinge o mínimo y=-4. Como x\to\infty tem y\to\infty, a imagem (contradomínio efetivo) é [-4,\infty). Portanto a função, considerando domínio [0,\infty), é injetora e tem inversa definida de [-4,\infty) em [0,\infty).

Passo 3

Encontrando a inversa (método padrão: resolver a equação por x e trocar papéis das variáveis). Escreve-se
y=x^{2}-4.
Agora resolve-se para x:
y+4 = x^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{y+4}.
Mas a restrição original diz x\geq 0, então devemos escolher o sinal positivo. Trocando o papel de x e y (ou seja, escrevendo a inversa como função da variável de entrada x), obtemos a fórmula da inversa:
f^{-1}(x)=\sqrt{x+4}.

Passo 4

Domínio e contradomínio da inversa (explicação): o domínio de f^{-1} é a imagem de f, que já vimos ser [-4,\infty). O contradomínio (valores possíveis) de f^{-1} é [0,\infty), que é o domínio original de f. Então
f^{-1}:\;[-4,\infty)\to[0,\infty),\qquad f^{-1}(x)=\sqrt{x+4}.

Passo 5

Calcular \left(f^{-1}\circ f\right)(x). Por definição, aplica-se f e em seguida f^{-1}:
\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=f^{-1}\big(f(x)\big)=f^{-1}\big(x^{2}-4\big)=\sqrt{(x^{2}-4)+4}=\sqrt{x^{2}}.
Agora um detalhe importante (matemática cuidadosa): a função raiz quadrada principal satisfaz \sqrt{x^{2}}=|x| para todo x. Porém lembramos que, ao compor f^{-1}\circ f, o x que aparece está no domínio de f, isto é x\geq 0. Para x\geq 0 vale |x|=x. Portanto
\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=x\quad\text{para }x\geq 0.

Passo 6

Calcular \left(f\circ f^{-1}\right)(x). Aqui o x que aparece é variável da função inversa, então seu domínio é o domínio de f^{-1}, ou seja x\geq -4. Fazendo a composição:
\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=f\big(f^{-1}(x)\big)=f\big(\sqrt{x+4}\big)=\big(\sqrt{x+4}\big)^{2}-4=x+4-4=x.
Não há ambiguidade com sinal aqui porque elevamos ao quadrado a raiz principal; portanto
\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x\quad\text{para }x\geq -4.

Passo 7

Resumo final e observações rápidas (didática): a técnica foi isoladamente resolver para x e escolher o sinal compatível com o domínio original; nas composições atenção ao fato de que \sqrt{x^{2}}=|x| e que se a variável está restrita a x\geq 0 isso simplifica para x. Isso é típico em provas: sempre declare domínios antes de simplificar expressões que envolvem raízes ou valor absoluto.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt{x+4},\quad x\geq -4
\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=x,\quad x\geq 0
\left(f\circ f^{-1}\right)(x)=x,\quad x\geq -4

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