Em cada um dos casos, determine a fórmula da função inversa e calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com a restrição
. Pede-se:
- Encontrar a fórmula de
(a função inversa). - Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão funcional é
. - O domínio de
é . - É preciso levar em conta a restrição
ao resolver para a inversa e ao simplificar composições.
Passo 2
Por que existe inversa? Explicação didática: uma função tem inversa quando é injetora (cada valor de saída vem de no máximo um
). Aqui, a função original é a parábola
mas com a restrição
— isso corta a metade direita da parábola, que é estritamente crescente. Um jeito simples de ver o alcance (imagem) é notar que
para todo
, então
No ponto
a função atinge o mínimo
. Como
tem
, a imagem (contradomínio efetivo) é
. Portanto a função, considerando domínio
, é injetora e tem inversa definida de
em
.
Passo 3
Encontrando a inversa (método padrão: resolver a equação por
e trocar papéis das variáveis). Escreve-se
Agora resolve-se para
:
Mas a restrição original diz
, então devemos escolher o sinal positivo. Trocando o papel de
e
(ou seja, escrevendo a inversa como função da variável de entrada
), obtemos a fórmula da inversa:
Passo 4
Domínio e contradomínio da inversa (explicação): o domínio de
é a imagem de
, que já vimos ser
. O contradomínio (valores possíveis) de
é
, que é o domínio original de
. Então
Passo 5
Calcular
. Por definição, aplica-se
e em seguida
:
Agora um detalhe importante (matemática cuidadosa): a função raiz quadrada principal satisfaz
para todo
. Porém lembramos que, ao compor
, o
que aparece está no domínio de
, isto é
. Para
vale
. Portanto
Passo 6
Calcular
. Aqui o
que aparece é variável da função inversa, então seu domínio é o domínio de
, ou seja
. Fazendo a composição:
Não há ambiguidade com sinal aqui porque elevamos ao quadrado a raiz principal; portanto
Passo 7
Resumo final e observações rápidas (didática): a técnica foi isoladamente resolver para
e escolher o sinal compatível com o domínio original; nas composições atenção ao fato de que
e que se a variável está restrita a
isso simplifica para
. Isso é típico em provas: sempre declare domínios antes de simplificar expressões que envolvem raízes ou valor absoluto.