Exemplo 2: Um cilindro reto tem raio da base igual a r e altura igual a h. Seu volume é igual a 16 \pi \mathrm{~m}^{3}. Determine r e h de modo que a área total desse cilindro seja mínima (considere com tampa).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: um cilindro reto com raio da base igual a r (em metros) e altura igual a h (em metros).
  • Informação numérica: volume igual a 16\pi\\ \mathrm{m}^3.
  • Pedido: determinar r e h de modo que a área total do cilindro seja mínima. Obs.: a área total considera tampa e fundo (duas bases + lateral).
  • Variáveis desconhecidas: r>0 e h>0.

Passo 2

Fórmulas necessárias (explicadas com calma):
  • Área de uma base (círculo) de raio r: \pi r^2. Aqui \pi é a constante geométrica e r é o raio.
  • Como há duas bases (tampa e fundo), a área total das bases é 2\pi r^2.
  • Área lateral de um cilindro reto de raio r e altura h é o perímetro da base vezes a altura, ou seja 2\pi r\cdot h. Explicando: perímetro do círculo é 2\pi r, multiplicando pela altura obtemos a “faixa” lateral.
  • Portanto a área total S (função de r e h) é
S(r,h)=2\pi r^2 + 2\pi r h.
  • O volume V de um cilindro é a área da base vezes a altura:
V=\pi r^2 h.
No problema sabemos que \,V=16\pi\,.

Passo 3

Usar o volume dado como restrição para eliminar uma variável:
  • Da fórmula do volume temos
\pi r^2 h = 16\pi.
  • Podemos simplificar dividindo ambos os lados por \pi:
r^2 h = 16.
  • Isolando h:
h=\frac{16}{r^2}.
Isto expressa a altura h em função do raio r. Agora podemos escrever a área total só em função de r, transformando o problema numa minimização de função de uma variável.

Passo 4

Substituir h em S(r,h) para obter S como função de r:
  • Partindo de S(r,h)=2\pi r^2 + 2\pi r h e substituindo h=\dfrac{16}{r^2},
S(r)=2\pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{16}{r^2}.
  • Simplificando o segundo termo:
S(r)=2\pi r^2 + \frac{32\pi}{r}.
Agora a tarefa é minimizar a função S(r) para r>0.

Passo 5

Explicar a ideia da derivada e procurar extremos:
  • Em problemas de otimização para funções diferenciáveis de uma variável, um ponto crítico \bar r onde a derivada se anula ( S'(\bar r)=0) pode ser mínimo ou máximo. Vamos calcular a derivada e analisar.
  • Primeiro, reescrevendo o segundo termo como potência negativa:
S(r)=2\pi r^2 + 32\pi r^{-1}.
  • Regra de derivação usada (regra do poder): se f(r)=r^n então f'(r)=n r^{n-1}. Constantes multiplicativas permanecem como fator.
  • Derivando termo a termo:
    • Derivada de 2\pi r^2 em relação a r é 2\pi \cdot 2r = 4\pi r.
    • Derivada de 32\pi r^{-1} é 32\pi \cdot (-1) r^{-2} = -32\pi r^{-2}.
  • Logo a derivada é
S'(r)=4\pi r - 32\pi r^{-2}.

Passo 6

Encontrar o ponto crítico resolvendo S'(r)=0:
  • Igualando a zero:
4\pi r - 32\pi r^{-2}=0.
  • Podemos dividir ambos os lados por 4\pi (que é positivo) para simplificar:
r - 8 r^{-2}=0.
  • Isto dá
r = \frac{8}{r^2}.
  • Multiplicando por r^2 (positivo), obtemos
r^3 = 8.
  • Tirando a raiz cúbica:
r = \sqrt[3]{8} = 2.
Como r>0, a solução relevante é r=2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificar que esse ponto é mínimo (teste da segunda derivada):
  • Calcule a segunda derivada de S:
S''(r)=\frac{d}{dr}\big(4\pi r - 32\pi r^{-2}\big)=4\pi + 64\pi r^{-3}.
(Explicação rápida: derivada de -32\pi r^{-2} é -32\pi\cdot(-2) r^{-3}=64\pi r^{-3}.)
  • Avaliando em r=2:
S''(2)=4\pi + 64\pi \cdot 2^{-3}=4\pi + 64\pi\cdot\frac{1}{8}=4\pi + 8\pi =12\pi >0.
  • Como a segunda derivada é positiva em r=2, a função S tem mínimo local (e, aqui, também global para r>0). Portanto r=2\\ \mathrm{m} minimiza a área total.

Passo 8

Determinar h correspondente usando a restrição do volume:
  • Usar h=\dfrac{16}{r^2} com r=2:
h=\frac{16}{2^2}=\frac{16}{4}=4.
  • Logo h=4\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Resultado adicional (checagem rápida da área mínima):
  • Podemos calcular a área total mínima substituindo r=2 e h=4 em S=2\pi r^2 + 2\pi r h:
S_{\min}=2\pi\cdot 2^2 + 2\pi\cdot 2\cdot 4 = 8\pi + 16\pi = 24\pi\\ \mathrm{m}^2.
Isto confirma coerência dos valores encontrados.

Resposta

r=2\\ \mathrm{m}
h=4\\ \mathrm{m}

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