Exemplo 2: Um cilindro reto tem raio da base igual a
e altura igual a
. Seu volume é igual a
. Determine
e
de modo que a área total desse cilindro seja mínima (considere com tampa).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados: um cilindro reto com raio da base igual a
(em metros) e altura igual a (em metros). - Informação numérica: volume igual a
. - Pedido: determinar
e de modo que a área total do cilindro seja mínima. Obs.: a área total considera tampa e fundo (duas bases + lateral). - Variáveis desconhecidas:
e .
Passo 2
Fórmulas necessárias (explicadas com calma):
- Área de uma base (círculo) de raio
: . Aqui é a constante geométrica e é o raio. - Como há duas bases (tampa e fundo), a área total das bases é
. - Área lateral de um cilindro reto de raio
e altura é o perímetro da base vezes a altura, ou seja . Explicando: perímetro do círculo é , multiplicando pela altura obtemos a “faixa” lateral. - Portanto a área total
(função de e ) é
- O volume
de um cilindro é a área da base vezes a altura:
No problema sabemos que
.
Passo 3
Usar o volume dado como restrição para eliminar uma variável:
- Da fórmula do volume temos
- Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
- Isolando
:
Isto expressa a altura
em função do raio
. Agora podemos escrever a área total só em função de
, transformando o problema numa minimização de função de uma variável.
Passo 4
Substituir
em
para obter
como função de
:
- Partindo de
e substituindo ,
- Simplificando o segundo termo:
Agora a tarefa é minimizar a função
para
.
Passo 5
Explicar a ideia da derivada e procurar extremos:
- Em problemas de otimização para funções diferenciáveis de uma variável, um ponto crítico
onde a derivada se anula ( ) pode ser mínimo ou máximo. Vamos calcular a derivada e analisar. - Primeiro, reescrevendo o segundo termo como potência negativa:
- Regra de derivação usada (regra do poder): se
então . Constantes multiplicativas permanecem como fator. - Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
- Derivada de
- Logo a derivada é
Passo 6
Encontrar o ponto crítico resolvendo
:
- Igualando a zero:
- Podemos dividir ambos os lados por
(que é positivo) para simplificar:
- Isto dá
- Multiplicando por
(positivo), obtemos
- Tirando a raiz cúbica:
Como
, a solução relevante é
.
Passo 7
Verificar que esse ponto é mínimo (teste da segunda derivada):
- Calcule a segunda derivada de
:
(Explicação rápida: derivada de
é
.)
- Avaliando em
:
- Como a segunda derivada é positiva em
, a função tem mínimo local (e, aqui, também global para ). Portanto minimiza a área total.
Passo 8
Determinar
correspondente usando a restrição do volume:
- Usar
com :
- Logo
.
Passo 9
Resultado adicional (checagem rápida da área mínima):
- Podemos calcular a área total mínima substituindo
e em :
Isto confirma coerência dos valores encontrados.