Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem \lim _{(x, y) \rightarrow(0, \theta)} \frac{\sin \left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe o limite
A variável x tende a 0 e a variável y tende a um valor fixo \theta (que pode ser qualquer número real).
É necessário dizer se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Note que o comportamento pode depender do valor de \theta (por exemplo, se \theta=0 o numerador e o denominador podem ambos tender a 0).
Passo 2
Análise do caso \theta\neq0. Ideia: quando o denominador tende a um número não nulo, podemos usar continuidade das funções envolvidas e fazer substituição direta.
Quando (x,y)\to(0,\theta) com \theta\neq0, temos \,y^{2}-x^{2}\to\theta^{2}\neq0.
Também \,y^{4}-x^{4}\to\theta^{4}, e a função \sin(\cdot) é contínua, logo \sin(y^{4}-x^{4})\to\sin(\theta^{4}).
Portanto, pelo limite do quociente de funções (denominador com limite não nulo),
Análise do caso \theta=0. Aqui o ponto é (0,0). Observa-se indeterminação do tipo 0/0 porque y^{4}-x^{4}\to0 e y^{2}-x^{2}\to0. Precisamos manipular a expressão para resolver a indeterminação.
Passo 4
Fatoração útil: y^{4}-x^{4} é uma diferença de quadrados de y^{2} e x^{2}. Aplicando a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=y^{2}, b=x^{2}, obtemos