Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \theta)} \frac{\sin \left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,\theta)} \frac{\sin\!\left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a 0 e a variável y tende a um valor fixo \theta (que pode ser qualquer número real).
  • É necessário dizer se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
  • Note que o comportamento pode depender do valor de \theta (por exemplo, se \theta=0 o numerador e o denominador podem ambos tender a 0).

Passo 2

Análise do caso \theta\neq0. Ideia: quando o denominador tende a um número não nulo, podemos usar continuidade das funções envolvidas e fazer substituição direta.
  • Quando (x,y)\to(0,\theta) com \theta\neq0, temos \,y^{2}-x^{2}\to\theta^{2}\neq0.
  • Também \,y^{4}-x^{4}\to\theta^{4}, e a função \sin(\cdot) é contínua, logo \sin(y^{4}-x^{4})\to\sin(\theta^{4}).
    Portanto, pelo limite do quociente de funções (denominador com limite não nulo),
\lim_{(x,y)\to(0,\theta)} \frac{\sin\!\left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}} = \frac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}},\qquad \text{se }\theta\neq0.

Passo 3

Análise do caso \theta=0. Aqui o ponto é (0,0). Observa-se indeterminação do tipo 0/0 porque y^{4}-x^{4}\to0 e y^{2}-x^{2}\to0. Precisamos manipular a expressão para resolver a indeterminação.

Passo 4

Fatoração útil: y^{4}-x^{4} é uma diferença de quadrados de y^{2} e x^{2}. Aplicando a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=y^{2}, b=x^{2}, obtemos
y^{4}-x^{4}=(y^{2}-x^{2})(y^{2}+x^{2}).
Substituindo na razão dada:
\frac{\sin\!\left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}} = \frac{\sin\!\big((y^{2}-x^{2})(y^{2}+x^{2})\big)}{y^{2}-x^{2}}.

Passo 5

Reescrevendo convenientemente para usar o limite conhecido \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Seja
u=(y^{2}-x^{2})(y^{2}+x^{2}).
Então, desde que y^{2}+x^{2}\neq0 (isto é, fora do ponto isolado (0,0)), pode-se escrever
\frac{\sin\!\big((y^{2}-x^{2})(y^{2}+x^{2})\big)}{y^{2}-x^{2}} = (y^{2}+x^{2})\cdot \frac{\sin u}{u}.
Agora, quando (x,y)\to(0,0) tem-se u\to0 e y^{2}+x^{2}\to0. Usando que \dfrac{\sin u}{u}\to1 quando u\to0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (y^{2}+x^{2})\cdot \frac{\sin u}{u} = \left(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (y^{2}+x^{2})\right)\cdot 1 = 0.
Observação alternativa e justificativa de rigidez: como \big|\dfrac{\sin u}{u}\big|\le 1 para u próximo de 0, tem-se
\left|\frac{\sin\!\left(y^{4}-x^{4}\right)}{y^{2}-x^{2}}\right| = |y^{2}+x^{2}|\cdot\left|\frac{\sin u}{u}\right| \le y^{2}+x^{2},
e o lado direito tende a 0, logo a expressão tende a 0.

Passo 6

Conclusão juntando os dois casos:
  • Se \theta\neq0 o limite existe e é \dfrac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}.
  • Se \theta=0 o limite existe e é 0.

Resposta

\displaystyle \text{Se }\theta\neq0:\\ \frac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}
\displaystyle \text{Se }\theta=0:\\\ 0

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