Nos Exercícios de la 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{4}{3 n-2}

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{4}{3n-2}
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O sinal alterna porque há o fator (-1)^{n+1}.
  • O termo de módulo positivo é a_n=\dfrac{4}{3n-2}.
    A pergunta é: a série converge? Se sim, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?

Passo 2

Apresentar o critério que vou usar (explicando bem): o Teste de Leibniz (ou critério da série alternada). Ele diz o seguinte: se (a_n) é uma sequência de números positivos tal que
  1. \,a_{n+1}\le a_n para todo n suficientemente grande (ou seja, (a_n) é monotonicamente decrescente a partir de algum índice), e
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
    então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_n converge.
    Explicando as condições: a_n é o tamanho dos termos (sempre positivo aqui); a condição 1 garante que os termos vão ficando cada vez menores; a condição 2 garante que os termos tendem a zero, requisito necessário para qualquer soma infinita convergente.

Passo 3

Verificar as condições do Teste de Leibniz para a_n=\dfrac{4}{3n-2}.
Primeiro, limite de a_n. Calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{3n-2}.
Para ver isso, divida numerador e denominador por n:
\frac{4}{3n-2}=\frac{4/n}{3-2/n}\longrightarrow\frac{0}{3}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=0. Isso satisfaz a condição 2.
Agora, monotonicidade: comparar a_n e a_{n+1}:
a_n-a_{n+1}=\frac{4}{3n-2}-\frac{4}{3n+1} =4\cdot\frac{(3n+1)-(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)} =4\cdot\frac{3}{(3n-2)(3n+1)}.
O numerador 4\cdot3=12 e o denominador é positivo para todo n\ge1, logo a_n-a_{n+1}>0. Assim a_{n+1}<a_n para todo n, ou seja, (a_n) é estritamente decrescente. Isso satisfaz a condição 1.
Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{4}{3n-2} é convergente.

Passo 4

Verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, considere a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{4}{3n-2}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3n-2}.
Compare essa série com a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}. Use a comparação limite (limit comparison): calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{4}{3n-2}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{3n-2} =\frac{4}{3},
que é um número finito e estritamente positivo. Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), a comparação limite implica que \sum \dfrac{4}{3n-2} também diverge. Logo a série dos módulos diverge, isto é, a série original não converge absolutamente.

Passo 5

Conclusão pedagógica curta e exemplo de referência: a série converge por ser alternada com termos positivos decrescentes e tendendo a zero (Teste de Leibniz). Contudo, por comparação com a harmônica, a soma dos módulos diverge, então a convergência é condicional — um caso clássico parecido é a série alternada harmônica \sum(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}, que também converge condicionalmente.

Resposta

Converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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