Exemplo: considerando um lançamento com resistência do ar, determine:
a) As equações da força resultante na direção
e
.
b) As funções posição
e
.
c) A equação da trajetória
.
a) As equações da força resultante na direção
b) As funções posição
c) A equação da trajetória
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) As equações da força resultante nas direções
e . - (b) As funções posição
e . - (c) A equação da trajetória
.
Informações e convenções que vamos usar (tudo explicitado para não dar margem a confusão):
- Tomamos um projétil de massa
. - A gravidade tem aceleração constante
apontando para baixo (eixo positivo para cima). - Vamos assumir resistência do ar proporcional à velocidade (modelo linear), com coeficiente positivo
. Ou seja, a força de arrasto é oposta à velocidade e vale . Eu escolhi esse modelo porque é o mais simples que ainda representa arrasto e permite solução analítica fechada — normalmente pedido em provas. - Eixos:
horizontal, vertical (para cima). Condições iniciais: , , velocidade inicial com e . - Defino
para simplificar notação (então ).
Não inicio nada de cálculo aqui — apenas deixei claro o que se pede, as hipóteses e as variáveis.
Passo 2
Forças e equações diferenciais (parte (a)). Explico passo a passo:
- A segunda lei de Newton em vetor diz
. - As forças que atuam: peso
e arrasto . - Logo a força resultante é soma das forças:
. - Componentizando em
e e usando , , obtemos as equações diferenciais:
- Em notação com
fica mais compacto:
Essas duas equações são a resposta pedida em (a): são as equações da força resultante convertidas em equações para as componentes da velocidade.
Passo 3
Resolver a equação em
e encontrar
e
.
- A equação
é uma ODE linear de primeira ordem simples (separável). Separando e integrando:
- Exponenciando e usando
obtemos
- A posição
vem integrando :
- Reescrevendo em termos de
e (se preferir):
Passo 4
Resolver a equação em
e encontrar
e
.
- A equação para
é uma ODE linear não homogênea:
Vou resolver pelo método do fator integrante (explico como funciona de forma bem didática):
- Multiplica-se a equação por
(o fator integrante) para obter
- O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Assim
- Integramos de
a :
- Isolando
:
- Rearranjando para ficar mais claro:
- Em termos de
: , então
- Agora integramos
para obter . Integramos desde até com :
Calcule a integral passo a passo:
Portanto
Em termos de
(substituindo
e
):
Passo 5
Eliminação do tempo para obter a trajetória
(parte (c)).
- Da expressão de
temos
- Além disso
pode ser isolado:
válido enquanto
(ou seja, até o alcance horizontal permitido pelo modelo com arrasto).
- Substituímos essas expressões em
. Usando a forma
substituindo
e
pela expressão do logaritmo, obtemos
- Reescrevendo com
e , , a forma explícita é
- Pequena intuição: no limite
(sem arrasto) essa expressão reduz-se à parábola clássica — isso serve como checagem.
Resposta
(a)
(b)
(c)