Uma pesquisadora mede a espessura de uma camada de benzeno ( n= 1,50) flutuando sobre a água emitindo uma luz monocromática sobre a película e variando o comprimento de onda da luz. Ela descobre que a luz com comprimento de onda igual a 575 nm é a que reflete mais fortemente do filme. Qual é a espessura mínima da película que ela encontra?

Passo 1

O enunciado diz que há uma película de benzeno com índice de refração n=1,50 flutuando sobre a água, e que a luz monocromática que é mais fortemente refletida tem comprimento de onda no ar igual a \lambda = 575\\ \mathrm{nm}. A pergunta: qual é a espessura mínima da película que produz essa forte reflexão?\n
Informações relevantes que vamos usar (algumas são convenções físicas padrão):\n
  • Índice do benzeno: n_{\text{benzeno}} = 1,50 (dado).\n
  • Comprimento de onda no ar: \lambda = 575\\ \mathrm{nm} (dado).\n
  • Há ar acima da película: n_{\text{ar}}\approx 1,00 (assumido, padrão).\n
  • Há água abaixo da película: n_{\text{água}}\approx 1,33á (valor padrão que vamos usar).\n
  • Como n_{\text{benzeno}} > n_{\text{água}}á, a reflexão na face inferior (benzeno→água) não sofre inversão de fase; a reflexão na face superior (ar→benzeno) sofre inversão de fase de \pi. Essa diferença de inversões é crucial para a condição de interferência.\n

Passo 2

Vamos entender a física e montar a fórmula passo a passo (aula rápida e prática para a prova).\n
Quando uma luz incide sobre a película, duas ondas refletidas são importantes: a que reflete na superfície superior (ar/benzeno) e a que reflete na superfície inferior (benzeno/água) depois de atravessar a película e voltar. Essas duas ondas têm diferença de fase que vem de dois efeitos:\n
  1. Diferença de caminho óptico dentro da película: a onda que reflete da face inferior percorre a dupla travessia da película, isto é, distância 2t dentro do material de índice n. O comprimento de onda dentro do filme vale \lambda_{\text{filme}}=\dfrac{\lambda}{n}. A fase associada a esse caminho é\n \varphi_{\text{caminho}} = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{filme}}}\cdot 2t = \frac{2\pi}{\lambda/n}\cdot 2t = \frac{4\pi n t}{\lambda}.\n
Aqui t é a espessura da película (o que queremos achar), n é o índice do benzeno e \lambda é o comprimento de onda no ar.\n
2) Inversões de fase nas reflexões: ao refletir de um meio de índice menor para maior ocorre uma inversão de fase de \pi. Ao refletir de maior para menor, não há inversão. No nosso caso:\n
  • Reflexão no topo (ar→benzeno): ocorre inversão de fase \Rightarrow acrescenta \pi.\n
  • Reflexão na base (benzeno→água): sem inversão \Rightarrow nada acrescentado.\n
Portanto a diferença total de fase entre as duas reflexões é\n \Delta\varphi = \varphi_{\text{caminho}} + \pi = \frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi.\n
Interferência construtiva (reflexão mais forte) acontece quando essa diferença total é um múltiplo inteiro de 2\pi, ou seja\n \frac{4\pi n t}{\lambda} + \pi = 2\pi m,\quad m\in\mathbb{Z}.\n
Dividindo por \pi e isolando t obtemos\n \frac{4 n t}{\lambda} + 1 = 2m \quad\Rightarrow\quad 4 n t = (2m-1)\lambda.\n
Finalmente,\n n t = \frac{2m-1}{4}\,\lambda \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2m-1}{4}\,\frac{\lambda}{n}.\n
Esse é o resultado geral para o caso com uma inversão de fase apenas. Para a espessura mínima positiva, escolhemos o menor m inteiro que dê t>0. Se colocarmos m=0 obtemos espessura negativa, então o menor m válido é m=1. Com m=1 a fórmula simplifica para\n t_{\min} = \frac{1}{4}\,\frac{\lambda}{n} = \frac{\lambda}{4n}.\n
Resumo das variáveis e o que significam:\n
  • t: espessura da película (que queremos).\n
  • n: índice de refração do filme (aqui n=1,50).\n
  • \lambda: comprimento de onda da luz no ar (aqui \lambda=575\\ \mathrm{nm}).\n
  • m: número inteiro que etiqueta as ordens de interferência; m=1 dá a espessura mínima positiva.\n

Passo 3

Agora aplicamos numericamente a fórmula obtida para m=1:\n
t_{\min} = \frac{\lambda}{4 n}.\n
Substituindo \lambda = 575\\ \mathrm{nm} e n=1,50:\n
t_{\min} = \frac{575\\ \mathrm{nm}}{4\cdot 1,50} = \frac{575\\ \mathrm{nm}}{6} = 95{,}833\ldots\\ \mathrm{nm}.\n
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas é suficiente em exames), temos t_{\min}\approx 95{,}8\\ \mathrm{nm}.\n

Passo 4

Comentário prático para a prova: a espessura mínima ocorre quando a película tem espessura igual a um quarto do comprimento de onda dentro do material ( t=\lambda/(4n)) sempre que existir apenas uma inversão de fase entre as duas superfícies. Se ambos os reflexos tivessem a mesma inversão (ou nenhuma), a condição mudaria (seria 2 n t = m\lambda). Então antes de aplicar fórmula, verifique os índices das camadas e quantas inversões de fase ocorrem — isso decide se usamos \lambda/4 ou \lambda/2 etc. Boa dica para a prova: desenhe sempre os índices e marque onde ocorre inversão de fase.\n

Resposta

95{,}8\\ \mathrm{nm}

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